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Ecuaciones e inecuaciones de primer grado en ℝ

📄 ejemplo Matemática 🎓 secundaria · 10° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Ejemplo de lenguaje algebraico: la mitad de un número $x$ es $\frac{x}{2}$ y tres veces ese número es $3x$ $.\n\nNúmero$ de estudiantes del salón: $x=12$ .

Matemática ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 56

Matematica 10° · Egb 10 Matematica 2025 · 2025

Contenido de la página

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones que contiene una o más variables. Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas, representada mediante los signos $>$ , $<$ , $\geq$ o $\leq$ .

Una ecuación lineal tiene la forma $ax+b=c$ , donde $a$ , $b$ y $c$ son números reales y la variable tiene grado $1$ . Resolverla significa encontrar el valor de la variable que hace verdadera la igualdad.

Problema del salón de clases

Sea $x$ el número total de estudiantes.

La cuarta parte de los estudiantes son niñas: $\frac{x}{4}$ .
Los niños exceden a la mitad en tres: $\frac{x}{2}+3$ .

Por tanto, la ecuación es:

$\frac{x}{4}+\left(\frac{x}{2}+3\right)=x$

Eliminamos los paréntesis:

$\frac{x}{4}+\frac{x+6}{2}=x$

Sumamos las fracciones y obtenemos:

$\frac{x+2x+12}{4}=x$

Multiplicamos ambos miembros por $4$ para eliminar el denominador:

$3x+12=4x$

Agrupamos las variables a la izquierda y las constantes a la derecha:

$3x-4x=-12$

$-x=-12$

Multiplicamos ambos miembros por $-1$ :

$x=12$

El salón tiene $12$ estudiantes. La cuarta parte, $3$ estudiantes, son niñas; los niños son $9$ , que exceden a la mitad de $12$ en $3$ .

Propiedades de las ecuaciones

Si $a=b$ , entonces $a\pm c=b\pm c$ .
Si $a=b$ y $c\neq 0$ , entonces $ac=bc$ y también se puede dividir ambos miembros entre $c$ .
El inverso multiplicativo permite multiplicar ambos miembros por el mismo número invertido. Por ejemplo, de $2x=4$ se obtiene $x=2$ al multiplicar por $\frac{1}{2}$ .

Contenido de la página

Ecuaciones e inecuaciones de primer grado en $\mathbb{R}$

Una ecuación es una igualdad entre expresiones que contienen variables. Una inecuación es una desigualdad que se verifica para determinados valores de las variables.

Ecuación lineal

Tiene la forma $ax+b=c$ , con $a$ , $b$ y $c$ reales, y la variable de grado $1$ .

Ejemplo

Si $x$ representa el total de estudiantes de un salón, la ecuación del problema es:

$\frac{x}{4}+\left(\frac{x}{2}+3\right)=x$

Al resolverla, se obtiene $x=12$ .

Propiedades

Si $a=b$ , se puede sumar o restar el mismo número a ambos miembros. También se puede multiplicar o dividir ambos miembros por el mismo número distinto de cero.

Ejemplos resueltos

En un salón de clases, la cuarta parte de los estudiantes son niñas y los niños exceden a la mitad en tres. ¿Cuántos estudiantes tiene el salón?

Sea $x$ el total de estudiantes. La ecuación es $\frac{x}{4}+\left(\frac{x}{2}+3\right)=x$ . Al eliminar paréntesis, sumar fracciones y eliminar denominadores se obtiene $3x+12=4x$ . Entonces $3x-4x=-12$ , $-x=-12$ y finalmente $x=12$ . El salón tiene $12$ estudiantes.

Tabla

| Propiedad | Enunciado $|\n|---|---|\n|$ Adición o sustracción | Si $a=b$ , entonces $a\pm c=b\pm c$ . $|\n|$ Multiplicación o división | Si $a=b$ y $c\neq 0$ , se puede multiplicar o dividir ambos miembros por $c$ . |

Fórmulas y ecuaciones

$ax+b=c$

Si $a=b$ , entonces $a\pm c=b\pm c$ .

Si $a=b$ y $c\neq 0$ , entonces $ac=bc$ .

$\frac{x}{4}+\left(\frac{x}{2}+3\right)=x$

$\frac{x}{4}+\frac{x+6}{2}=x$

$\frac{x+2x+12}{4}=x$

$3x+12=4x$

$3x-4x=-12$

$-x=-12$

$x=12$

Glosario (5)

Ecuación: Igualdad entre dos expresiones algebraicas que contiene una o más variables.
Inecuación: Desigualdad entre dos expresiones algebraicas, expresada con signos como $>$, $<$, $\geq$ o $\leq$.
Variable: Símbolo que representa un valor desconocido o que puede cambiar.
Inverso multiplicativo: Número que, al multiplicarse por otro número distinto de cero, produce $1$.
Ecuación lineal: Ecuación cuya variable tiene grado uno y que puede escribirse como $ax+b=c$.

Preguntas para practicar

Escribe un ejemplo de una expresión algebraica que represente una parte de una cantidad y otro que represente varias veces esa cantidad.

Temas y conceptos clave

Ecuaciones e inecuacionesEcuaciones linealesPropiedades de las ecuacionesTraducción del lenguaje cotidiano al lenguaje algebraicoEcuaciónInecuaciónVariableEcuación linealInverso multiplicativoTransposición de términosIgualdad

Fuentes y referencias

Enlace indicado en la página: lynk.ec/10m05

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Preguntas que la gente también hace

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¿Cómo se traduce un problema cotidiano a una ecuación?

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📌 Antes de leer esto

• Operaciones con números reales
• Simplificación de fracciones
• Uso de paréntesis
• Propiedad distributiva
• Lenguaje algebraico básico

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Resolución de ecuaciones de primer grado con diferentes términos y representación de soluciones de inecuaciones en la recta numérica

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 2788 caracteres

4 ES a ES 8 zg 8 5 E 5 2 5

El salón de clases es un ámbito que se presta para toda clase de cálculos matemáticos.

& Recuerda que...

La propiedad del inverso multiplicativo consiste en multiplicar cada miembro de la ecuación por el mismo número, pero invertido, Por ejemplo, en 2x = 4, si aplicamos el inverso multiplicativo queda:

apt)

x=2

2 ¿Sabías que?

El símbolo ee significa infinito, es decir, no tiene fin.

+00: Significa más infinito

=o0: Significa menos infinito

R Competencia digital

Ingresa al siguiente enlace web: lynk.ec/10m05

imprime la pagina 90 para resolver ecuaciones.

Ecuaciones e inecuaciones de primer grado en R

Recuerda. En lenguaje algebraico, la expresión “parte de’ se refiere a una división y la palabra “veces”, a una multiplicación. Escribe un ejemplo.

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones que contiene una o más variables. en cambio, una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas de una o varias incógnitas, que se verifica para ciertos valores de las incógnitas; se expresa con los signos >, <, > y <.

Ecuaciones de primer grado

En un salón de clases, la cuarta parte son niñas y los niños exceden a la mitad en tres. ¿Cuántos estudiantes tiene el salón de clases?

Traducimos del lenguaje cotidiano al lenguaje matemático: la variable x representa el número de estudiantes en el salón de clases.

La cuarta parte: + La mitad excedida en 3: > +3.

i xX Entonces, la ecuación buscada es: Fi + & 3) =X.

Definición de ecuación lineal. Es una expresión de la forma ax + b=c, donde a, b y cson números reales y el grado de la incógnitaxes 1. Resolverla significa encontrar el valor de la variable que satisface la igualdad.

A continuación, resolveremos la ecuación planteada anteriormente. Primero, eliminamos paréntesis.

Luego, resolvemos la suma de fracciones y eliminamos el de- nominador aplicando la propiedad del inverso multiplicativo.

X42x +12 _ y Después transponemos los términos agrupando las variables

4 en la izquierda, y las constantes (números) en la derecha. 3x+12=4x 3x-4x=-12 Finalmente, despejamos la variable x y multiplicamos los dos Xx =-12 miembros de la igualdad por (-1) x=12

Propiedades de las ecuaciones

Enunciado

Propiedad

Una igualdad no cambia si se le suma o se le resta

Sia=b,entoncesatc=b+c, Fs F ; un mismo número a cada miembro.

Una igualdad se mantiene si se multiplica o divide por un mismo número distinto de cero en cada miembro.

Sia =b y c+ 0, entonces ac = bc.

Archivo Editorial

M.4,1.38. Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en R para resolver problemas sencillos. M.4.1.39. Representar un intervalo en R de manera algebraica y gráfica, y reconocer el intervalo como la solución de una inecuación de primer grado con una incógnita en R.

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