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Olimpiadas matemáticas

📄 ejercicios Matemática 🎓 secundaria · 8° EGB Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

$16$ pedazos.
$48\,\text{m}$ .
$16\,\text{cm}^2$ .
a) $21\,\text{cm}^2$ ; b) $40\,\text{cm}^2$ ; c) $56\,\text{cm}^2$ ; d) $54\,\text{cm}^2$ .

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 8 min lectura

Solución — Página 166

Matematica 8° · Egb 8 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Resolución

Ejercicio 1

Cortes de la madera

Para obtener nueve pedazos se necesitan $9-1=8$ cortes. Para obtener ocho pedazos se necesitan $8-1=7$ cortes.

Los puntos de corte de Ricardo dividen la madera en partes de longitud $\frac{1}{9}$ , mientras que los de Luciana la dividen en partes de longitud $\frac{1}{8}$ . Como $8$ y $9$ no tienen divisores comunes distintos de $1$ , ningún punto interior de corte coincide.

Por tanto, se realizan $8+7=15$ cortes. Cada corte aumenta en uno la cantidad de pedazos:

$15+1=16$

Se obtienen 16 pedazos de madera.

Ejercicio 2

Diferencia de perímetros

El rectángulo exterior sobresale del interior $6\,\text{m}$ a la izquierda y $8\,\text{m}$ a la derecha. Por tanto, su ancho supera al del rectángulo interior en:

$6+8=14\,\text{m}$

En sentido vertical, el rectángulo exterior supera al interior en:

$4+6=10\,\text{m}$

La diferencia entre los perímetros es el doble de la suma de estos aumentos:

$2(14+10)=2(24)=48\,\text{m}$

La diferencia de los perímetros es 48 m.

Ejercicio 3

Área sombreada

La región sombreada está formada por dos triángulos. Cada uno tiene base $2\,\text{cm}$ y altura igual a la mitad del lado del cuadrado, es decir, $8\,\text{cm}$ .

El área de un triángulo es:

$A=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{2\cdot 8}{2}=8\,\text{cm}^2$

Como hay dos triángulos:

$A_{\text{sombreada}}=2\cdot 8=16\,\text{cm}^2$

El área sombreada es 16 cm².

Ejercicio 4

Áreas sombreadas

Parte 4.a

El área de la figura exterior es:

$A_e=5\cdot 5=25\,\text{cm}^2$

El área del cuadrado interior es:

$A_i=2\cdot 2=4\,\text{cm}^2$

Entonces:

$A_s=25-4=21\,\text{cm}^2$

Parte 4.b

El rectángulo exterior mide $10\,\text{cm}$ de ancho, porque $2+8=10$ , y $8\,\text{cm}$ de alto, porque $3+5=8$ .

$A_e=10\cdot 8=80\,\text{cm}^2$

El rectángulo interior mide $8\,\text{cm}$ por $5\,\text{cm}$ :

$A_i=8\cdot 5=40\,\text{cm}^2$

Por tanto:

$A_s=80-40=40\,\text{cm}^2$

Parte 4.c

El triángulo sombreado tiene como base la diagonal horizontal entre los vértices inferior izquierdo y derecho, pero puede calcularse mediante coordenadas. Sus vértices son $(0,0)$ , $(8,8)$ y $(17,3)$ .

$A=\frac{1}{2}\left|0(8-3)+8(3-0)+17(0-8)\right|$

$A=\frac{1}{2}|24-136|=\frac{112}{2}=56\,\text{cm}^2$

El área sombreada es 56 cm².

Parte 4.d

El área del rectángulo es:

$A_r=12\cdot 6=72\,\text{cm}^2$

Las diagonales dividen el rectángulo en cuatro triángulos de igual área. Cada triángulo tiene:

$\frac{72}{4}=18\,\text{cm}^2$

La región no sombreada es un triángulo, así que la región sombreada está formada por tres triángulos:

$A_s=3\cdot 18=54\,\text{cm}^2$

Contenido de la página

Olimpiadas matemáticas

La página propone cuatro problemas de razonamiento matemático. Se trabajan conteo de cortes, diferencias de perímetros y cálculo de áreas de regiones sombreadas mediante descomposición de figuras.

Ejemplos resueltos

Una madera se corta en nueve partes mediante cortes realizados en distintos puntos.

Para obtener $9$ partes se necesitan $8$ cortes, porque el número de cortes es una unidad menor que el número de partes.

Fórmulas y ecuaciones

$A_{cuadrado}=lado^2$

$A_{rectángulo}=largo\cdot ancho$

$A_{triángulo}=\frac{base\cdot altura}{2}$

$P=2(largo+ancho)$

$A_{triángulo}=\frac{b\cdot h}{2}$

$A_{rectángulo}=base\cdot altura$

Glosario (5)

Perímetro: Medida de la longitud del contorno de una figura.
Área: Medida de la superficie interior de una figura.
Región sombreada: Parte coloreada o resaltada de una figura geométrica.
Rectángulo: Cuadrilátero con cuatro ángulos rectos y lados opuestos iguales.
Cuadrado: Cuadrilátero con cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos.

Preguntas para practicar

¿Por qué quince cortes producen dieciséis pedazos?

¿Cómo se puede calcular un área sombreada sin medir directamente la región coloreada?

¿Por qué las diagonales de un rectángulo forman cuatro triángulos de igual área?

Temas y conceptos clave

Conteo de cortesPerímetros de rectángulosÁreas de triángulosÁreas de regiones sombreadasUn corte adicional aumenta en uno el número de pedazosEl perímetro de un rectángulo es $2(largo+ancho)$El área de un triángulo es $\frac{base\cdot altura}{2}$El área de una figura compuesta se obtiene sumando o restando áreas conocidas

Fuentes y referencias

Adaptado de http://www.ommenlinea.org

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Figuras de la página (6)

Dos rectángulos de lados paralelos, uno interior y otro exterior, con separaciones de 6 m, 8 m, 4 m y 6 m. — Figura 1 image

Cuadrado de lado 16 cm con segmentos de 2 cm en lados opuestos y líneas cruzadas que delimitan dos regiones triangulares sombreadas. — Figura 2 image

Región rectangular o cuadrada sombreada con un cuadrado blanco en el centro; se indican las medidas 5 y 2. — Figura 3 image

Rectángulo sombreado con un rectángulo blanco interior; las medidas exteriores se obtienen de 2 cm, 8 cm, 3 cm y 5 cm. — Figura 4 image

Rectángulo dividido por un triángulo sombreado; en el borde superior aparecen 8 y 9, y en el derecho 5 y 3. — Figura 5 image

Rectángulo de 12 cm por 6 cm con sus diagonales; tres de los cuatro triángulos formados están sombreados. — Figura 6 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo calcular el área de una región sombreada?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo hallar la diferencia entre los perímetros de dos rectángulos?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuántos pedazos se obtienen al realizar varios cortes?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Operaciones con números naturales
• Cálculo del perímetro de rectángulos
• Cálculo del área de cuadrados, rectángulos y triángulos
• Identificación de figuras geométricas

Siguiente tema sugerido

Resolución de problemas con áreas compuestas y semejanza de triángulos

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Olimpiadas matemáticas

RE 1. Ricardo quería cortar un pedazo de madera en nueve pedazos de la misma longitud y marcó los puntos

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El gráfico muestra dos rectángulos cuyos lados son pa-

donde debía cortar. Luciana quería cortar el mismo pedazo de madera en solo ocho pedazos de la misma longitud y marcó los puntos donde debía cortar. Si el pedazo de madera se corta en todos los puntos que ambos marcaron, ¿cuántos pedazos de madera se obtendrán?

Argumenta en tu cuaderno la solución.

ralelos. ¿Cuál es la diferencia de los perímetros de los dos rectángulos?

Argumenta en tu cuaderno la solución.