Olimpiadas matemáticas

Resolución de los problemas

Las áreas de los cuadrados son:

• Cuadrado pequeño: 4^2=16\ \text{cm}^2.
• Cuadrado mediano: 8^2=64\ \text{cm}^2.
• Cuadrado grande: 12^2=144\ \text{cm}^2.

El cuadrado pequeño y el mediano se superponen en un cuadrado de lado 2\ \text{cm}, cuya área es 4\ \text{cm}^2. El cuadrado mediano y el grande se superponen en un cuadrado de lado 4\ \text{cm}, cuya área es 16\ \text{cm}^2.

Por tanto, el área de la figura es:

16+64+144-4-16=204\ \text{cm}^2

Cada rectángulo pequeño tiene un lado mayor de 20\ \text{cm} y un lado menor desconocido, x.

En la figura, dos rectángulos colocados horizontalmente determinan el ancho total:

2\times20=40\ \text{cm}

En la parte central hay cinco rectángulos colocados verticalmente, por lo que:

5x=40\quad\Rightarrow\quad x=8\ \text{cm}

La altura del rectángulo grande es:

8+20+8=36\ \text{cm}

Entonces, su perímetro es:

P=2(40+36)=152\ \text{cm}

El lado del cuadrado pequeño mide 12\ \text{cm}. Según las diferencias señaladas en la figura, cada separación mide 4\ \text{cm}.

El cuadrado mediano tiene lado:

12+4=16\ \text{cm}

El cuadrado grande tiene lado:

16+4+4=24\ \text{cm}

Su perímetro es:

P=4\times24=96\ \text{cm}

El cuadrado que contiene un círculo tiene área a. Como el círculo está inscrito en el cuadrado, el diámetro del círculo coincide con el lado del cuadrado.

La figura de la derecha está formada por un rectángulo de tres diámetros de largo y un diámetro de alto, más dos semicircunferencias que juntas forman un círculo.

El rectángulo tiene tres veces el área del cuadrado equivalente a un círculo inscrito, es decir, 3a. Las dos semicircunferencias tienen un área total igual a la de un círculo, que es b.

Por tanto, el área encerrada es:

3a+b

La suma de las áreas de los dos cuadrados es:

2\times11^2=242\ \text{cm}^2

La unión de los cuadrados forma un rectángulo de 11\ \text{cm} por 18\ \text{cm}:

11\times18=198\ \text{cm}^2

La región superpuesta, que corresponde a la parte sombreada, se cuenta dos veces en la suma de las áreas. Por ello:

A_{\text{sombreada}}=242-198=44\ \text{cm}^2