Cuidemos el río: Teorema de Pitágoras

Situación cotidiana

En el triángulo rectángulo ABC, el ángulo recto está en A. Por tanto, CB es la hipotenusa, AB=10\ \text{m} es un cateto y AC=x representa el ancho del río.

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

x^2+10^2=75{,}66^2

x^2=75{,}66^2-10^2=5624{,}4356

x=\sqrt{5624{,}4356}\approx74{,}996\ \text{m}

Por lo tanto, el ancho del río es aproximadamente 75\ \text{m}.

Reflexiona

• El ancho del río no es menor que 10\ \text{m}; es aproximadamente 75\ \text{m}.
• La comprobación se realiza verificando que la hipotenusa sea mayor que cualquiera de los catetos y usando x^2=75{,}66^2-10^2.
• Si se conoce el área del triángulo y el cateto AB, sí se puede hallar el ancho del río:

A=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{10\cdot x}{2}=5x

Si A=375\ \text{m}^2:

375=5x

x=75\ \text{m}

Trayecto de la hormiga

Del gráfico se leen los puntos A(1,1), B(4,5), C(8,2) y D(4,-1).

AB=\sqrt{(4-1)^2+(5-1)^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \text{cm}

BC=\sqrt{(8-4)^2+(2-5)^2}=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5\ \text{cm}

CD=\sqrt{(4-8)^2+(-1-2)^2}=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=5\ \text{cm}

DA=\sqrt{(1-4)^2+(1-(-1))^2}=\sqrt{(-3)^2+2^2}=\sqrt{13}\ \text{cm}

La distancia total es:

5+5+5+\sqrt{13}=15+\sqrt{13}\approx18{,}61\ \text{cm}

Altura del árbol

La sombra mide 6\ \text{m} y el segmento desde la parte superior del árbol hasta el extremo de la sombra mide 10\ \text{m}. La altura h es un cateto:

h^2+6^2=10^2

h^2=100-36=64

h=8\ \text{m}

Longitud del cable

El poste y la distancia desde su base forman los catetos de un triángulo rectángulo. La longitud del cable c es la hipotenusa:

c^2=12^2+18^2

c^2=144+324=468

c=\sqrt{468}=6\sqrt{13}\approx21{,}63\ \text{m}