Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 1 EGB

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Ecuaciones con dos incógnitas relacionadas: comprobación y planteamiento

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Respuesta rápida

$c=1600\,\text{m}$ . Escoba: $20; trapeador:$ 40. Verificación: $20+40=60$ y $40=2(20)$ .

matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 37

Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Comprobación de la ecuación $1200=\frac{3}{4}c$

Se verifica que $c=1600$ es solución de la ecuación original.

Se parte de la ecuación inicial: $1200=\frac{3}{4}c$ .
Se sustituye $c=1600$ : $1200=\frac{3}{4}(1600)$ .
Se multiplica $\frac{3}{4}\times 1600=\frac{4800}{4}=1200$ .
Se obtiene una identidad: $1200=1200$ .

Respuesta: La igualdad se cumple, por lo que $c=1600$ es correcto; la longitud del circuito por completar es $1600\,\text{m}$ .

Ejemplo. Escoba y trapeador

Un señor pagó $60 por una escoba y un trapeador. Hallar el precio de cada producto sabiendo que el precio del trapeador es el doble que el de la escoba.

Paso 1

Se identifica qué se busca: el precio de dos productos, el trapeador y la escoba.

Respuesta orientativa: Hay dos incógnitas: precio del trapeador y precio de la escoba.

Paso 2

Dato conocido: el total pagado, $60.
Datos desconocidos: precio del trapeador y precio de la escoba.
Como el trapeador cuesta el doble que la escoba, se puede expresar una incógnita en función de la otra.

Respuesta orientativa: Con un solo dato numérico ( $60$ ) y una relación entre las incógnitas se puede plantear una ecuación con una sola letra.

Paso 3

Se nombran las incógnitas: escoba $=e$ , trapeador $=t$ .
Relación entre incógnitas: $t=2e$ .
Relación con el dato conocido: $t+e=60$ .
Se sustituye $t=2e$ en la suma: $2e+e=60$ .
Se reducen términos semejantes: $3e=60$ .
Se despeja: $e=\frac{60}{3}=20$ .
Se calcula $t=2(20)=40$ .
Verificación: $40+20=60$ y $40=2(20)$ .

Respuesta: La escoba cuesta $20 y el trapeador$ 40.

Contenido de la página

Lo cual significa que la longitud del circuito por completar es de 1 600 m. Para comprobar que el resultado es correcto se sustituye el valor de $c$ en la ecuación inicial:

$1200=\frac{3}{4}c \qquad 1200=\frac{4800}{4}$

$1200=\frac{3}{4}(1600) \qquad 1200=1200$

La cadena de igualdades anterior prueba que el valor de $c$ es el correcto y, por tanto, el problema fue resuelto adecuadamente.

Existen ocasiones en las que un problema tiene dos incógnitas, pero una de ellas se escribe en términos de la otra; es decir, se plantea una ecuación con una sola incógnita. Este caso lo muestra el siguiente ejemplo:

Un señor pagó $60 por una escoba y un trapeador. Hallar el precio de cada producto sabiendo que el precio del trapeador es el doble que el de la escoba.

Paso 1. Al leer el problema se comprende que se debe hallar el precio de dos productos, el de un trapeador y una escoba.

Paso 2. El dato conocido es el precio total de la compra, $60, y los datos desconocidos son el precio del trapeador y el de la escoba. Como el precio del trapeador es el doble que el de la escoba, en el paso 3 se establece la relación entre ambas incógnitas.

Trapeador: $t$ $\qquad$ Escoba: $e$

Paso 3. Existen dos tipos de relaciones en el problema. La primera es la relación entre los datos desconocidos. El precio de la escoba, al que se denomina con la letra $e$ , y el del trapeador, representado con la letra $t$ . Se sabe que el precio del trapeador es el doble del precio de la escoba, esto se escribe como $t=2e$ . La segunda relación es entre los datos conocidos y desconocidos, se sabe que la suma de ambos precios es $60. Esto es,$ t+e=60$.

Ejemplos resueltos

Comprobar que $c=1600$ es solución de $1200=\frac{3}{4}c$ .

Se sustituye $c=1600$ : $1200=\frac{3}{4}(1600)=\frac{4800}{4}=1200$ . Como $1200=1200$ , la solución es correcta.

Un señor pagó $60 por una escoba y un trapeador. Hallar el precio de cada producto sabiendo que el precio del trapeador es el doble que el de la escoba.

Sean $e$ el precio de la escoba y $t$ el del trapeador. Se tiene $t=2e$ y $t+e=60$ . Sustituyendo: $2e+e=60 \Rightarrow 3e=60 \Rightarrow e=20$ . Entonces $t=2(20)=40$ . Verificación: $20+40=60$ y $40=2(20)$ .

Tabla

Producto	Incógnita	Relación	Precio
Escoba	$e$	—	$20
Trapeador	$t$	$t=2e$	$40
Total	—	$t+e=60$	$60

Diagrama

flowchart TD
  A[Problema: escoba y trapeador] --> B[Dato conocido: total $60]
  A --> C[Incógnitas: e y t]
  C --> D[Relación: t = 2e]
  B --> E[Ecuación: t + e = 60]
  D --> E
  E --> F[Sustituir: 2e + e = 60]
  F --> G[3e = 60]
  G --> H[e = 20]
  H --> I[t = 40]

Fórmulas y ecuaciones

1200= $\frac{3}{4}$ c

t=2e

t+e=60

1200= $\frac{3}{4}$ c

1200= $\frac{3}{4}$ (1600)

1200=1200

t=2e

t+e=60

Glosario (4)

Incógnita: Cantidad desconocida que se representa con una letra.
Ecuación: Igualdad matemática que contiene una o más incógnitas.
Sustituir: Reemplazar una variable por su valor o por una expresión equivalente.
Comprobar: Verificar que la solución satisface la ecuación original.

Preguntas para practicar

¿Por qué conviene expresar una incógnita en términos de la otra?

Porque así el problema con dos incógnitas se transforma en una ecuación con una sola letra, más fácil de resolver. En el ejemplo, escribir $t=2e$ permite sustituir y obtener $3e=60$. Esto reduce el número de valores desconocidos que hay que encontrar.

Temas y conceptos clave

Comprobación de ecuacionesProblemas con dos incógnitasPlanteamiento algebraicoIncógnitaEcuaciónSustituciónVerificaciónRelación entre variables

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se resuelve un problema con dos incógnitas relacionadas?

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¿Cómo se comprueba que la solución de una ecuación es correcta?

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¿Cómo se traduce un enunciado a una ecuación de primer grado?

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📌 Antes de leer esto

• Operaciones con fracciones
• Nociones de álgebra: incógnita y ecuación
• Suma y multiplicación de números naturales

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Resolución de problemas con dos incógnitas mediante sistemas de ecuaciones

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1659 caracteres

Lo cual significa que la longitud del circuito por completar es de 1 600 m. Para comprobar que el resultado es correcto se sustituye el valor de c en la ecuación inicial:

$\begin{aligned}&1200=\frac{3}{4}c\quad&1200=\frac{4800}{4}c\\ &\\ &1200=\frac{3}{4}(1600)\quad&1200=1200\\ \end{aligned}$

La cadena de igualdades anterior prueba que el valor de c es el correcto y, por tanto, el problema fue resuelto adecuadamente.

Existen ocasiones en las que un problema tiene dos incógnitas, pero una de ellas se escribe en términos de la otra; es decir,se plantea una ecuación con una sola incógnita. Este caso lo muestra el siguiente ejemplo:

Un senor pagó $60 por una escoba y un trapeador. Hallar el precio de cada producto sabiendo que el precio del trapeador es el doble que el de la escoba.

Paso 1. Al leer el problema se comprende que se debe hallar el precio de dos productos, el de un trapeador y una escoba.

Paso 2. El dato conocido es el precio total de la compra, $60, y los datos desconocidos son el precio del trapeador y el de la escoba.Como el precio del trapeador es el doble que el de la escoba, en el paso 3 se establece la relación entre ambas incógnitas.

Trapeador: t Escoba:e

Paso 3. Existen dos tipos de relaciones en el problema. La primera es la relación entre los datos desconocidos. El precio de la escoba, al que se denomina con la letra e, y el del trapeador, representado con la letra t.Se sabe que el precio del trapeador es el doble del precio de la escoba,esto se escribe como $t=2e$ . La segunda relación es entre los datos conocidos y desconocidos, se sabe que la suma de ambos precios es $60.Esto es,$ t+e=60$

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