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Desigualdad del triángulo: verificación con segmentos de 10, 20 y 31 cm

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Respuesta rápida

No se puede formar el triángulo: $10 + 20 = 30 < 31$ , por lo que falla $a + b > c$ .

matematica ⭐ Dificultad 1/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 33

Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 2

Existen longitudes de segmentos $a$ , $b$ y $c$ , cuyas medidas en centímetros son $a = 10$ , $b = 20$ y $c = 31$ . Verificar si es posible formar un triángulo con ellas.

Se aplica la propiedad de la desigualdad del triángulo: la suma de dos lados cualesquiera debe ser mayor que el tercer lado.
Primera desigualdad: $a + b > c$ . $10 + 20 > 31 \;\Rightarrow\; 30 > 31$ Como $30$ no es mayor que $31$ , esta desigualdad no se cumple.
Segunda desigualdad: $a + c > b$ . $10 + 31 > 20 \;\Rightarrow\; 41 > 20$ Esta desigualdad sí se cumple.
Tercera desigualdad: $b + c > a$ . $20 + 31 > 10 \;\Rightarrow\; 51 > 10$ Esta desigualdad sí se cumple.
Como no se cumplen las tres desigualdades a la vez, basta con que falle una para concluir que no se puede construir el triángulo.

Teorema de la desigualdad del triángulo

Dados tres segmentos, se puede formar un triángulo si y solo si la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera es siempre mayor que la longitud del lado restante:

$a + b > c, \quad a + c > b, \quad b + c > a$

Si al menos una de las tres desigualdades no se cumple, la construcción del triángulo no es posible.

Respuesta

No es posible construir un triángulo con segmentos de $10\,\text{cm}$ , $20\,\text{cm}$ y $31\,\text{cm}$ , porque $10 + 20 = 30 < 31$ .

Contenido de la página

Ejemplo 2

Existen las longitudes de segmentos $a$ , $b$ y $c$ , cuyas medidas son, en centímetros:

$a = 10$
$b = 20$
$c = 31$

Verificar si es posible formar un triángulo con ellas.

Desigualdad	Sustitución y cálculo de la desigualdad en centímetros	Cumple o no la desigualdad
$a + b > c$	$10 + 20 > 31$ ; $30 > 31$	No cumple
$a + c > b$	$10 + 31 > 20$ ; $41 > 20$	Sí cumple
$b + c > a$	$20 + 31 > 10$ ; $51 > 10$	Sí cumple

Como no se cumplen las tres desigualdades a la vez, entonces no es posible construir un triángulo con los segmentos $a$ , $b$ y $c$ . Es suficiente que no se cumpla una desigualdad para afirmar que no es posible construir un triángulo con los segmentos dados.

Con la propiedad de la desigualdad del triángulo, se puede saber si tres longitudes forman un triángulo, es decir, si la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera es mayor que la longitud del tercer lado.

Con esta afirmación, llamada teorema, se puede identificar si dados tres segmentos sus medidas son las adecuadas para formar un triángulo, es decir, si se cumple la desigualdad del triángulo, la cual dice que la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante y, por tanto, se puede asegurar la construcción de un triángulo.

Ejemplos resueltos

Existen las longitudes de segmentos $a$ , $b$ y $c$ , cuyas medidas son, en centímetros: $a = 10$ , $b = 20$ , $c = 31$ . Verificar si es posible formar un triángulo con ellas.

Se aplican las tres desigualdades del triángulo:

$a + b > c$ : $10 + 20 = 30$ , y $30 > 31$ es falso. No cumple.
$a + c > b$ : $10 + 31 = 41$ , y $41 > 20$ es verdadero. Sí cumple.
$b + c > a$ : $20 + 31 = 51$ , y $51 > 10$ es verdadero. Sí cumple.

Como una de las desigualdades no se cumple, no es posible construir el triángulo con esos segmentos.

Tabla

Desigualdad	Sustitución y cálculo de la desigualdad en centímetros	Cumple o no la desigualdad
$a + b > c$	$10 + 20 > 31$ ; $30 > 31$	No cumple
$a + c > b$	$10 + 31 > 20$ ; $41 > 20$	Sí cumple
$b + c > a$	$20 + 31 > 10$ ; $51 > 10$	Sí cumple

Diagrama

flowchart TD
  A[Segmentos a=10, b=20, c=31] --> B{¿a+b>c?}
  B -- No --> F[No se puede construir el triángulo]
  B -- Sí --> C{¿a+c>b?}
  C -- No --> F
  C -- Sí --> D{¿b+c>a?}
  D -- No --> F
  D -- Sí --> E[Sí se puede construir el triángulo]

Fórmulas y ecuaciones

a + b > c, $\quad$ a + c > b, $\quad$ b + c > a

a + b > c

a + c > b

b + c > a

10 + 20 > 31

30 > 31

10 + 31 > 20

41 > 20

20 + 31 > 10

51 > 10

Glosario (4)

Desigualdad del triángulo: Propiedad que establece que la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que la longitud del tercer lado.
Teorema: Afirmación matemática que puede demostrarse a partir de axiomas o resultados ya conocidos.
Segmento: Porción de recta limitada por dos puntos llamados extremos.
Triángulo: Polígono de tres lados que se puede construir cuando se cumple la desigualdad triangular.

Preguntas para practicar

¿Por qué basta con que falle una sola desigualdad para afirmar que no se puede construir el triángulo?

Porque el teorema exige que las tres desigualdades se cumplan simultáneamente. Si una falla, los dos lados menores no logran alcanzar los extremos del lado mayor y la figura no cierra, por lo que no existe triángulo posible.

Temas y conceptos clave

Desigualdad del triánguloVerificación de construcción de triángulosTeorema de la desigualdad triangularDesigualdad del triánguloTeoremaSegmentoLado de un triánguloConstrucción geométrica

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Preguntas que la gente también hace

¿Cuándo tres segmentos forman un triángulo?

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¿Qué dice el teorema de la desigualdad del triángulo?

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¿Por qué 10, 20 y 31 cm no forman un triángulo?

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📌 Antes de leer esto

• Suma y comparación de números naturales
• Concepto de segmento y su medida
• Nociones básicas de triángulo y sus lados

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Construcción de triángulos con regla y compás a partir de las medidas de sus lados

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Ejemplo 2

Existen las longitudes de segmentos a, $b y c_{s}$ ,cuyas medidas son, en centímetros:

$\begin{aligned}a&=10\\b&=20\\c&=31\end{aligned}$

Verifi car si es posible formar un triángulo con ellas.

Como no se cumplen las tres desigualdades a la vez, entonces no es posible construir un triángulo con los segmentos a, $b y c.$ . Es suficiente que no se cumpla una desigualdad para afirmar que no es posible construir un triángulo con los segmentos dados.

Con la propiedad de la desigualdad del triángulo, se puede saber si tres longitudes forman un triángulo, es decir,si la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera es mayor que la longitud del tercer lado.

福

Con esta afirmación, llamada teorema, se puede identificar si dados tres segmentos sus medidas son las adecuadas para formar un triángulo, es decir, si se cumple la desigualdad del triángulo, la cual dice que la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante y, por tanto, se puede asegurar la construcción de un triángulo.

Desigualdad	Sustitución y cálculo de la desigualdad en centimetros	Cumple o no la desigualdad
$a+b>c$	10+20>31 30>31	No cumple
$a+c>b$	10+31>20	No cumple
$b+c>a$	41>20 20+31>10 51>10	Si cumple Si cumple