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Resolución y comprobación de un sistema de ecuaciones lineales (trapeador y escoba)

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Respuesta rápida

Trapeador: $40. Escoba:$ 20. Comprobación: $40 + 20 = 60$ , se cumple la igualdad.

matematica ⭐ Dificultad 1/5 ⏱ 3 min lectura

Solución — Página 39

Colección Ximhai. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 1° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Continuación del problema: el costo de la escoba es $e = 20$ y el precio del trapeador es el doble que el de la escoba. Hallar el precio del trapeador y comprobar la solución en la ecuación $t + e = 60$ .

Parte 1.a

Cálculo del precio del trapeador

Se plantea la relación: el trapeador cuesta el doble que la escoba. $t = 2e$
Se sustituye el valor conocido $e = 20$ . $t = 2(20)$
Se multiplica. $t = 40$

Respuesta

el trapeador cuesta $40.

Parte 1.b

Comprobación en la ecuación original

Se escribe la ecuación que representa el gasto total. $t + e = 60$
Se sustituyen los valores encontrados $t = 40$ y $e = 20$ . $40 + 20 = 60$
Se opera el miembro izquierdo. $60 = 60$

Paso 4 (reflexión)

La clave para resolver situaciones modeladas por una ecuación lineal es identificar la incógnita, relacionarla con los datos conocidos, aplicar operaciones en ambos miembros hasta despejarla y comprobar que el valor obtenido satisfaga la ecuación original.

Respuesta orientativa: modelar con ecuaciones lineales permite traducir situaciones cotidianas a lenguaje matemático; verificar la solución evita errores y garantiza que la respuesta tenga sentido en el contexto del problema.

Respuesta

la igualdad se cumple, por lo que los valores son correctos: trapeador $40 y escoba$ 20.

Contenido de la página

Del inciso c) se obtiene que el valor de la incógnita $e$ es 20, lo que indica que el costo de la escoba es de $20, y como el precio del trapeador es el doble que el de la escoba, entonces, para conocerlo basta con resolver la segunda ecuación planteada en el paso 4:

$t = 2e$

$t = 2(20)$

$t = 40$

De lo anterior se obtiene que el valor de la incógnita $t$ es 40, por tanto, el costo del trapeador es de $40. Si comprobamos estos resultados en la ecuación 1 se obtiene el precio que pagó el señor.

$t + e = 60$

$40 + 20 = 60$

$60 = 60$

La igualdad anterior confirma que los valores de las incógnitas son los correctos, y la respuesta al problema es que el precio del trapeador es de $40, y el de la escoba de$ 20.

La clave para resolver situaciones modeladas por una ecuación lineal está en identificar la incógnita en la situación planteada y poder establecer una relación con los datos conocidos. Una vez delimitada la ecuación a resolver, se aplican las operaciones pertinentes en ambos miembros de la ecuación hasta encontrar el valor de la incógnita. Es importante comprobar que este valor satisfaga la ecuación, pues, de lo contrario, se corre el riesgo de no resolver adecuadamente el problema.

Con los ejemplos de situaciones problemáticas que se modelan y resuelven por medio de las ecuaciones lineales, es posible observar la importancia que el conocimiento y dominio de las ecuaciones lineales tienen en la vida cotidiana de las personas, y aún más, su impacto y utilidad a lo largo del tiempo que en diferentes sociedades han permitido el desarrollo y la organización en diversos ámbitos y campos del saber humano.

Ejemplos resueltos

El costo de una escoba es $20 y el de un trapeador es el doble. Si en total se pagaron$ 60, ¿cuánto cuesta cada artículo?

Sea $e$ el precio de la escoba y $t$ el del trapeador.

Relación: $t = 2e$ .
Total: $t + e = 60$ .
Sustituyendo: $2e + e = 60 \Rightarrow 3e = 60 \Rightarrow e = 20$ .
Entonces $t = 2(20) = 40$ .
Comprobación: $40 + 20 = 60$ .

Respuesta: trapeador $40, escoba$ 20.

Fórmulas y ecuaciones

t = 2e

t + e = 60

t = 2e

t = 2(20)

t = 40

t + e = 60

40 + 20 = 60

60 = 60

Glosario (4)

Incógnita: Valor desconocido que se busca en una ecuación, representado generalmente por una letra.
Ecuación lineal: Igualdad algebraica de primer grado donde la incógnita aparece elevada a la potencia 1.
Comprobación: Proceso de sustituir la solución en la ecuación original para verificar que la igualdad se cumpla.
Modelación: Traducción de una situación real a lenguaje matemático mediante ecuaciones o expresiones.

Preguntas para practicar

¿Por qué es importante comprobar el valor de la incógnita en la ecuación original?

Porque permite verificar que la solución satisface la igualdad y que el resultado tiene sentido dentro del contexto del problema. Si la igualdad no se cumple, se detecta un error en el planteamiento o en el despeje.

¿Cómo influyen las ecuaciones lineales en la vida cotidiana?

Permiten modelar situaciones como compras, presupuestos o repartos, traduciendo datos conocidos y desconocidos a una relación matemática. Su dominio facilita tomar decisiones y resolver problemas en distintos ámbitos del saber.

Temas y conceptos clave

Ecuaciones linealesSistemas de ecuaciones 2x2Modelación de situaciones cotidianasComprobación de solucionesIncógnitaEcuación linealSustituciónComprobaciónModelación matemática

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones lineales por sustitución?

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¿Por qué es importante comprobar la solución de una ecuación?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se modela un problema cotidiano con ecuaciones lineales?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Operaciones básicas con números enteros y decimales
• Concepto de incógnita y variable
• Despeje de ecuaciones de primer grado
• Sustitución de valores en expresiones algebraicas

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Planteamiento y resolución de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 por otros métodos (igualación, reducción)

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1646 caracteres

Del inciso c) se obtiene que el valor de la incógnita e es 20, lo que indica que el costo de la escoba es de $20, y como el precio del trapeador es el doble que el de la escoba, entonces, para conocerlo basta con resolver la segunda ecuación planteada en el paso 4:

$t=2e$

$t=2(20)$

$t=40$

De lo anterior se obtiene que el valor de la incógnita t es 40,por tanto, el costo del trapeador es de $40. Si comprobamos estos resultados en la ecuación 1 se obtiene el precio que pagóel señor.

$t+e=60$

$40+20=60$

$60=60$

La igualdad anterior confi rma que los valores de las incógnitas son los correctos, y la respuesta al problema es que el precio del trapeador es de $40, y el de la escoba de$ 20.

La clave para resolver situaciones modeladas por una ecuación lineal está en identifi car la incógnita en la situación planteada y poder establecer una relación con los datos conocidos. Una vez delimitada la ecuación a resolver, se aplican las operaciones pertinentes en ambos miembros de la ecuación hasta encontrar el valor de la incógnita. Es importante comprobar que este valor satisfaga la ecuación, pues, de lo contrario, se corre el riesgo de no resolver adecuadamente el problema.

Con los ejemplos de situaciones problemáticas que se modelan y resuelven por medio de las ecuaciones lineales, es posible observar la importancia que el conocimiento y dominio de las ecuaciones lineales tienen en la vida cotidiana de las personas,y aún más, su impacto y utilidad a lo largo del tiempo que en diferentes sociedades han permitido el desarrollo y la organización en diversos ámbitos y campos del saber humano.

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