Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 2 EGB

SEP/CONALITEG

112/339

Representación algebraica de una sucesión con progresión cuadrática

📄 ejemplo matematica 🎓 secundaria · 2° Secundaria México 🇲🇽 MX 🗣 Español

Página 112

112 de 339

Anterior Página 112 / 339 Siguiente

Respuesta rápida

$a=3$ , $b=-5$ , $c=6$ ; representación algebraica: $3n^{2}-5n+6$ .

matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 112

Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejemplo: sucesión 4, 8, 18, 34, 56, ...

Se busca la representación algebraica $an^{2}+bn+c$ de la sucesión.

Se calculan las primeras diferencias: $8-4=4$ , $18-8=10$ , $34-18=16$ , $56-34=22$ .
Se calculan las segundas diferencias: $10-4=6$ , $16-10=6$ , $22-16=6$ . Como son constantes, la progresión es cuadrática.
El doble del coeficiente $a$ es igual a la segunda diferencia constante: $2a=6$ , por lo que $a=3$ .
La expresión $3a+b$ es igual al primer valor de las primeras diferencias: $3a+b=4$ . Sustituyendo $a=3$ : $3(3)+b=4$ , $9+b=4$ , $b=4-9$ , $b=-5$ .
La expresión $a+b+c$ es igual al término inicial: $a+b+c=4$ . Sustituyendo $a=3$ y $b=-5$ : $(3)+(-5)+c=4$ , $3-5+c=4$ , $-2+c=4$ , $c=4+2$ , $c=6$ .
Se sustituyen los valores en $an^{2}+bn+c$ : $(3)n^{2}+(-5)n+(6)=3n^{2}-5n+6$ .

Respuesta: La representación algebraica es $3n^{2}-5n+6$ .

Aplicaciones

Las sucesiones cuadráticas permiten predecir valores faltantes en secuencias numéricas o de figuras. Se aplican en biología (reproducción de especies), economía (capital acumulado), deporte (resultados de entrenamiento) e industria (producción de artículos).

Contenido de la página

El doble del valor del coeficiente $a$ es equivalente al valor constante de las segundas diferencias. Es decir:

$2a=6$ $a=3$

La expresión $3a+b$ es equivalente al primer valor de las primeras diferencias. Es decir, $3a+b=4$ . Como $a=3$ :

$3(3)+b=4$ $9+b=4$ $b=4-9$ $b=-5$

La expresión $a+b+c$ es equivalente al término inicial de la sucesión. Es decir, $a+b+c=4$ . Sustituye $a=3$ y $b=-5$ :

$(3)+(-5)+c=4$ $3-5+c=4$ $-2+c=4$ $c=4+2$ $c=6$

Finalmente, sustituye los valores de $a=3$ , $b=-5$ y $c=6$ en $an^{2}+bn+c$ :

$(3)n^{2}+(-5)n+(6)=3n^{2}-5n+6$

Por lo anterior, la sucesión $4, 8, 18, 34, 56, \ldots$ tiene una progresión cuadrática y su representación algebraica es: $3n^{2}-5n+6$ .

El método que se expuso para determinar la representación algebraica de una sucesión con progresión cuadrática funciona porque lo que se hace es analizar cómo y cuánto cambian (varían) los valores de la sucesión.

Una forma de estudiar la variación en matemáticas es mediante el cálculo de diferencias entre dos valores consecutivos para saber cuánto cambió de un valor a otro y cómo cambió. Así, se llega a una regla general.

Las representaciones algebraicas de sucesiones con progresión cuadrática son muy útiles para calcular el valor faltante o predecir el valor que debe ir en una secuencia de valores o de figuras que tengan este tipo de comportamiento.

Este conocimiento tiene aplicaciones en distintos ámbitos; por ejemplo, en biología, para predecir la cantidad de reproducciones de cierta especie animal a partir de datos iniciales; en la economía, para determinar el capital acumulado en cierto tiempo; en el deporte, para predecir resultados de entrenamientos; en la industria, para calcular la cantidad de productos fabricados en cierto momento a partir de los datos iniciales y de producción. En matemáticas, son útiles para descubrir propiedades de los números.

Ejemplos resueltos

Determinar la representación algebraica de la sucesión $4, 8, 18, 34, 56, \ldots$

Primeras diferencias: $4, 10, 16, 22$ .
Segundas diferencias: $6, 6, 6$ (constantes).
$2a=6 \Rightarrow a=3$ .
$3a+b=4 \Rightarrow 3(3)+b=4 \Rightarrow b=-5$ .
$a+b+c=4 \Rightarrow 3-5+c=4 \Rightarrow c=6$ .
$a_{n}=3n^{2}-5n+6$ .

Tabla

n	Término	Primera diferencia	Segunda diferencia
1	4	—	—
2	8	4	—
3	18	10	6
4	34	16	6
5	56	22	6

Diagrama

flowchart TD
    A[Sucesión: 4, 8, 18, 34, 56] --> B[Primeras diferencias: 4, 10, 16, 22]
    B --> C[Segundas diferencias: 6, 6, 6]
    C --> D[2a = 6 → a = 3]
    D --> E[3a + b = 4 → b = -5]
    E --> F[a + b + c = 4 → c = 6]
    F --> G[an² + bn + c = 3n² - 5n + 6]

Fórmulas y ecuaciones

$a_{n}=an^{2}+bn+c$

2a= $\text{segunda diferencia constante}$

3a+b= $\text{primer valor de las primeras diferencias}$

a+b+c= $\text{término inicial}$

2a=6

a=3

3a+b=4

3(3)+b=4

9+b=4

b=4-9

b=-5

a+b+c=4

(3)+(-5)+c=4

3-5+c=4

-2+c=4

c=4+2

c=6

$(3)n^{2}+(-5)n+(6)=3n^{2}-5n+6$

Glosario (4)

Progresión cuadrática: Sucesión en la que las segundas diferencias entre términos consecutivos son constantes.
Primeras diferencias: Resultados de restar cada término menos el anterior en una sucesión.
Segundas diferencias: Diferencias calculadas sobre las primeras diferencias; si son constantes, la sucesión es cuadrática.
Representación algebraica: Expresión del término general de una sucesión, como $an^{2}+bn+c$.

Preguntas para practicar

¿Por qué el método de diferencias permite obtener la regla general de una sucesión cuadrática?

Porque las diferencias sucesivas muestran cómo varía la sucesión: si la segunda diferencia es constante, el cambio es cuadrático. Al relacionar esa constante con los coeficientes $a$, $b$ y $c$ se obtiene la expresión algebraica que genera todos los términos.

¿En qué situaciones de tu entorno podrías usar una sucesión cuadrática para predecir valores?

Por ejemplo, al modelar el crecimiento de una población, el aumento de producción en una fábrica o la acumulación de ahorro con interés compuesto simple. En todos estos casos, los cambios no son constantes y pueden describirse con una expresión cuadrática.

Temas y conceptos clave

Sucesiones cuadráticasMétodo de diferenciasRepresentación algebraicaProgresión cuadráticaPrimeras diferenciasSegundas diferenciasTérmino generalCoeficientes a, b, c

¿Te fue útil esta página?

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo saber si una sucesión es cuadrática?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué significa el método de diferencias en sucesiones?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Para qué sirven las sucesiones cuadráticas en la vida real?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Identificar patrones numéricos
• Operaciones básicas con números enteros
• Sustitución de valores en expresiones algebraicas

Siguiente tema sugerido

Sucesiones geométricas y su representación algebraica

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 2180 caracteres

El doble del valor del coefi ciente a es equivalente al valor constante de las segundas diferencias. Es decir:

$\begin{aligned}2a&=6\\a&=3\end{aligned}$

$\begin{array}{l}\text{*La expression}3a+b\text{es equivalent al prime valor de has primeas differences.}\\\text{Ex decir,}3a+b=4.\text{Como}a=3:\\\quad3(3)+b=4\\\quad9+b=4\\\quad b=4-9\\\quad b=-5\end{array}$

(ci adxpresión $a+b+c$ es equivalente al término inicial de la sucesión. Es decir,

$a+b+c=4 .Su$

$.Su \begin{array}{c}\text{stiuye}a=3\text{y}b=-5;\\(3)+(-5)+c=4\\3-5+c=4\\-2+c=4\\c=4+2\\c=6\end{array} a=3y b=-5; \begin{array}{c}\text{stiuye}a=3\text{y}b=-5;\\(3)+(-5)+c=4\\3-5+c=4\\-2+c=4\\c=4+2\\c=6\end{array}$

Finalmente, sustituye los valores de $a=3,b=-5yc=6\mathrm{en}an^{2}+bn+c.$

$(3)n^{2}+(-5)n+(6)=3n^{2}-5n+6$

Por lo anterior, la sucesión 4, 8, 18, 34, $56,\ldots$ . tiene una progresión cuadrática y su representación algebraica es: $3n^{2}-5n+6$

Este conocimiento tiene aplicaciones en distintos ámbitos; por ejemplo, en biologia,para predecir la cantidad de reproducciones de cierta especie animal a partir de datos iniciales; en la economia, para determinar el capital acumulado en cierto tiempo; en el deporte, para predecir resultados de entrenamientos; en la industria, para calcular la cantidad de productos fabricados en cierto momento a partir de los datos iniciales y de producción. En matemáticas, son útiles para descubrir propiedades de los números.