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Obtención de la regla cuadrática de una sucesión por método de sustitución

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Respuesta rápida

$a=1$ , $b=1$ , $c=3$ . Regla cuadrática: $a_n=n^{2}+n+3$ .

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 110

Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Explicación del método

La página muestra cómo encontrar la regla cuadrática de una sucesión a partir de sus diferencias. Se parte de la forma general:

$a_n = an^{2} + bn + c$

Las relaciones que permiten obtener los coeficientes son:

$2a =$ segunda diferencia de los términos de la sucesión.
$3a + b =$ primera diferencia de los primeros dos términos de la sucesión.
$a + b + c =$ primer término de la sucesión.

Con los datos de la tabla anterior se plantean las igualdades:

$2a = 2$ $3a + b = 4$ $a + b + c = 5$

Paso 1

Despejar $a$ de la primera ecuación.

$2a = 2$ $a = \frac{2}{2}$ $a = 1$

Respuesta orientativa: $a = 1$ .

Paso 2

Sustituir $a = 1$ en la segunda ecuación para encontrar $b$ .

$3a + b = 4$ $3(1) + b = 4$ $3 + b = 4$ $b = 4 - 3$ $b = 1$

Respuesta orientativa: $b = 1$ .

Paso 3

Sustituir $a = 1$ y $b = 1$ en la tercera ecuación para encontrar $c$ .

$a + b + c = 5$ $(1) + (1) + c = 5$ $2 + c = 5$ $c = 5 - 2$ $c = 3$

Respuesta orientativa: $c = 3$ .

Regla cuadrática

Al sustituir los valores en $an^{2} + bn + c$ :

$(1)n^{2} + (1)n + 3 = n^{2} + n + 3$

Respuesta: La regla cuadrática de la sucesión es $a_n = n^{2} + n + 3$ .

Conclusión teórica

Si al calcular las segundas diferencias de los términos de una sucesión el resultado siempre es un valor constante, entonces la sucesión tiene una progresión cuadrática y su representación algebraica será de la forma $an^{2} + bn + c$ .

Contenido de la página

Los coeficientes de $an^{2}+bn+c$ se obtienen al relacionar los valores obtenidos en la tabla anterior de la manera siguiente:

$2a =$ Segunda diferencia de los términos de la sucesión
$3a+b =$ Primera diferencia de los primeros dos términos de la sucesión
$a+b+c =$ Primer término de la sucesión

Al sustituir los valores especificados en la tabla, correspondientes a las tres expresiones anteriores, se obtienen las igualdades:

$2a=2$ $3a+b=4$ $a+b+c=5$

Para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ , se resuelve este sistema de tres ecuaciones lineales con el método de sustitución, por ejemplo, como se indica a continuación:

Se despeja $a$ , para encontrar su valor.
Se sustituye $a$ en la siguiente ecuación para encontrar el valor de $b$ .
Se sustituyen los valores de $a$ y $b$ para encontrar el valor de $c$ .

$1.\; 2a=2 \quad 2.\; 3a+b=4 \quad 3.\; a+b+c=5$ $a=\frac{2}{2} \quad 3(1)+b=4 \quad (1)+(1)+c=5$ $a=1 \quad 3+b=4 \quad 2+c=5$ $\quad b=4-3=1 \quad c=5-2$ $\quad \quad c=3$

Por tanto, al sustituir estos valores en la expresión $an^{2}+bn+c$ , se obtiene la regla cuadrática de la sucesión: $(1)n^{2}+(1)n+3=n^{2}+n+3$ .

Si al calcular las segundas diferencias de los términos de una sucesión, el resultado siempre es un valor constante, entonces la sucesión tiene una progresión cuadrática y su representación algebraica será de la forma $an^{2}+bn+c$ .

Ejemplos resueltos

Obtener la regla cuadrática de una sucesión cuyos datos producen el sistema: $2a=2$ , $3a+b=4$ , $a+b+c=5$ .

Se despeja $a$ : $a=\frac{2}{2}=1$ . Se sustituye en la segunda: $3(1)+b=4 \Rightarrow b=1$ . Se sustituye en la tercera: $(1)+(1)+c=5 \Rightarrow c=3$ . La regla es $a_n=n^{2}+n+3$ .

Diagrama

flowchart TD
    A[Sucesión] --> B[Calcular primeras diferencias]
    B --> C[Calcular segundas diferencias]
    C --> D{¿Segunda diferencia constante?}
    D -- Sí --> E[Sucesión cuadrática]
    D -- No --> F[No es cuadrática]
    E --> G[Plantear sistema: 2a, 3a+b, a+b+c]
    G --> H[Resolver por sustitución]
    H --> I[Regla an²+bn+c]

Fórmulas y ecuaciones

2a = $\text{segunda diferencia}$

3a+b = $\text{primera diferencia de los dos primeros términos}$

a+b+c = $\text{primer término de la sucesión}$

$a_n$ = $an^{2}+bn+c$

$an^{2}+bn+c$

2a=2

3a+b=4

a+b+c=5

a=1

b=1

c=3

$n^{2}+n+3$

Glosario (4)

Sucesión cuadrática: Sucesión en la que las segundas diferencias entre términos consecutivos son constantes.
Regla cuadrática: Expresión algebraica de la forma an²+bn+c que permite calcular cualquier término de una sucesión cuadrática.
Segunda diferencia: Diferencia que se obtiene al restar dos primeras diferencias consecutivas.
Método de sustitución: Técnica para resolver sistemas de ecuaciones que consiste en despejar una variable y reemplazarla en otra ecuación.

Preguntas para practicar

¿Por qué se afirma que una sucesión es cuadrática cuando la segunda diferencia es constante?

Porque al calcular las diferencias sucesivas de una expresión de segundo grado, la segunda diferencia resulta siempre igual al valor $2a$, que es constante. Esto permite identificar el tipo de sucesión y plantear su regla general.

Temas y conceptos clave

Sucesiones cuadráticasRegla general an²+bn+cSistema de ecuaciones linealesMétodo de sustituciónCoeficientes a, b, cSegunda diferencia constantePrimera diferenciaPrimer término de la sucesiónProgresión cuadrática

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se obtiene la regla general de una sucesión cuadrática?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué significa que la segunda diferencia sea constante?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se resuelve un sistema de tres ecuaciones lineales por sustitución?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Identificar términos de una sucesión
• Calcular primeras y segundas diferencias
• Resolver ecuaciones lineales de una variable
• Sustituir valores en expresiones algebraicas

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Aplicación de la regla cuadrática para calcular términos de una sucesión

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1418 caracteres

Los coeficientes de $a n^{2}+b n+c$ se obtienen al relacionar los valores obtenidos en la tabla anterior de la manera siguiente:

$2a=S e g u d a$ diferencia de los términos de la sucesión

$3a+b=\mathrm{Primer}a$ diferencia de los primeros dos términos de la sucesión

4 $a+b+c=\mathrm{Primers}$ r término de la sucesión

Al sustituir los valores especifi cados en la tabla, correspondientes a las tres expresiones anteriores, se obtienen las igualdades:

$\begin{aligned}&2a=2\\&3a+b=4\\&a+b+c=5\end{aligned}$

Para obtener los valores de $a,$ $b y c,$ se resuelve este sistema de tres ecuaciones lineales con el método de sustitución, por ejemplo,como se indica a continuación:

1.Se despeja a, para encontrar su valor.

2.Se sustituye a en la siguiente ecuación para encontrar el valor de b.

3.Se sustituyen los valores de a y b para encontrar el valor de c.

$\begin{aligned}1.2a&=2&2.3a+b&=4&3.a+b+c&=5\\a&=\frac{2}{2}&3(1)+b&=4&(1)+(1)+c&=5\\a&=1&b&=4-3&=1&c&=5-2\\&&&c&=3\end{aligned}$

Por tanto, al sustituir estos valores en la expresión $an^{2}+bn+c$ se obtiene la regla cuadrática de la sucesión: $(1)n^{2}+(1)n+3=n^{2}+n+3$

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