Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 2 EGB

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Representación algebraica de sucesiones de figuras con progresión cuadrática

📄 teoria matematica 🎓 secundaria · 2° Secundaria México 🇲🇽 MX 🗣 Español

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Respuesta rápida

Regla general: $a_{n}=n^{2}+n+1$ . Términos: 3, 7, 13, 21. Segunda diferencia constante $=2$ .

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 108

Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Análisis de la página

La página presenta la teoría de las sucesiones con progresión cuadrática y una sucesión de figuras (triángulos formando una V) que la ejemplifica. No hay ejercicios propuestos, por lo que se resuelve el ejemplo implícito de la imagen.

Conteo de elementos de cada figura

Figura 1: 3 triángulos.
Figura 2: 7 triángulos.
Figura 3: 13 triángulos.
Figura 4: 21 triángulos.

Método de las diferencias

Primeras diferencias: $7-3=4$ , $13-7=6$ , $21-13=8$ .
Segundas diferencias: $6-4=2$ , $8-6=2$ . Son constantes ( $=2$ ), luego la sucesión es cuadrática.
Como la segunda diferencia es $2a$ , entonces $2a=2 \Rightarrow a=1$ .
Con $a=1$ , la regla es $n^{2}+bn+c$ . Sustituyendo $n=1$ : $1+b+c=3 \Rightarrow b+c=2$ .
Sustituyendo $n=2$ : $4+2b+c=7 \Rightarrow 2b+c=3$ .
Restando: $b=1$ , y de $b+c=2$ se obtiene $c=1$ .

Respuesta: La regla general es $a_{n}=n^{2}+n+1$ .

Verificación

$n=3$ : $9+3+1=13$ ✓
$n=4$ : $16+4+1=21$ ✓

Concepto clave

Una sucesión es de progresión cuadrática si sus segundas diferencias son constantes. Ese valor constante es $2a$ , lo que permite hallar $a$ ; luego, con dos términos, se resuelve el sistema para $b$ y $c$ .

Contenido de la página

Representación algebraica de sucesiones de figuras con progresión cuadrática

Una sucesión con progresión cuadrática es una secuencia de figuras o elementos en la que el crecimiento o decrecimiento del número de éstas puede ser representado mediante una expresión algebraica de segundo grado de la forma $an^{2}+bn+c$ , donde $n$ indica la posición de una figura en la secuencia. Los coeficientes constantes $a$ , $b$ y $c$ se determinan usando un método de diferencias. Este método relaciona dichos coeficientes de la regla cuadrática con las diferencias de términos consecutivos de la sucesión.

Una sucesión de figuras tiene progresión cuadrática si, al calcular las segundas diferencias entre la cantidad de elementos que las componen, siempre se obtiene un valor constante.

En la imagen se muestra una sucesión de figuras con progresión cuadrática.

Figura 1: 3 triángulos
Figura 2: 7 triángulos
Figura 3: 13 triángulos
Figura 4: 21 triángulos

Ejemplos resueltos

Determina la regla general de la sucesión de figuras mostrada: 3, 7, 13, 21, ...

Primeras diferencias: $4, 6, 8$ .
Segundas diferencias: $2, 2$ (constante), luego $2a=2 \Rightarrow a=1$ .
Con $a=1$ : $1+b+c=3$ y $4+2b+c=7$ .
Resolviendo: $b=1$ , $c=1$ . Regla general: $a_{n}=n^{2}+n+1$ .

Tabla

Posición $n$	1	2	3	4
Triángulos	3	7	13	21
1.ª diferencia	—	4	6	8
2.ª diferencia	—	—	2	2

Diagrama

flowchart TD
  A[Sucesión de figuras] --> B[Contar elementos]
  B --> C[Primeras diferencias]
  C --> D{¿Segundas diferencias constantes?}
  D -- Sí --> E[Progresión cuadrática an²+bn+c]
  D -- No --> F[No es cuadrática]

Fórmulas y ecuaciones

$a_{n}=an^{2}+bn+c$

$\Delta_{2}=2a$

$a_{n}=an^{2}+bn+c$

2a= $\text{segunda diferencia constante}$

$a_{n}=n^{2}+n+1$

Glosario (5)

Sucesión: Conjunto ordenado de elementos que siguen un patrón o regla.
Progresión cuadrática: Sucesión cuyo término general es un polinomio de segundo grado $an^{2}+bn+c$.
Primera diferencia: Resta entre un término y el anterior de la sucesión.
Segunda diferencia: Resta entre dos primeras diferencias consecutivas; si es constante, la sucesión es cuadrática.
Regla general: Expresión algebraica que permite calcular cualquier término de la sucesión a partir de su posición $n$.

Preguntas para practicar

¿Por qué si la segunda diferencia es constante la sucesión es cuadrática?

Porque al aplicar diferencias sucesivas a un polinomio de grado 2, la primera diferencia es lineal y la segunda es constante igual a $2a$. Ese comportamiento es exclusivo de las expresiones cuadráticas, por lo que sirve como criterio de identificación.

Temas y conceptos clave

Sucesiones con progresión cuadráticaRepresentación algebraica de sucesionesMétodo de las diferenciasProgresión cuadráticaRegla general $an^{2}+bn+c$Primeras diferenciasSegundas diferencias constantesCoeficientes $a$, $b$, $c$

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Figuras de la página (1)

Cuatro figuras formadas con triángulos azules dispuestos en forma de V. La figura 1 tiene 3 triángulos, la figura 2 tiene 7, la figura 3 tiene 13 y la figura 4 tiene 21, mostrando el crecimiento cuadrático. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo saber si una sucesión es cuadrática?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué significa que la segunda diferencia sea constante?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se obtiene la regla general an²+bn+c de una sucesión de figuras?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Identificar patrones en sucesiones numéricas
• Sustituir valores en expresiones algebraicas
• Resolver sistemas de ecuaciones lineales 2x2
• Calcular diferencias entre términos consecutivos

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Obtención de la regla general de sucesiones cuadráticas a partir de una tabla de valores

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