Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 2 EGB

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Método de las diferencias para sucesiones cuadráticas

📄 teoria matematica 🎓 secundaria · 2° Secundaria México 🇲🇽 MX 🗣 Español

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Respuesta rápida

Las segundas diferencias constantes ( $2$ ) indican progresión cuadrática. La expresión es $S_n = n^{2}+n+3$ .

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 109

Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Explicación del método de las diferencias

La página presenta una sucesión cuyos términos son 5, 9, 15, 23, ... y propone encontrar su expresión algebraica de la forma $S_n = an^{2}+bn+c$ .

Se organizan los datos en una tabla con la posición $n$ y el término $S_n$ .
Se calculan las primeras diferencias restando términos consecutivos:
- $9-5=4$
- $15-9=6$
- $23-15=8$
Se calculan las segundas diferencias restando las primeras diferencias:
- $6-4=2$
- $8-6=2$
Como las segundas diferencias son constantes ( $2$ ), la sucesión es cuadrática.

Respuesta: La sucesión 5, 9, 15, 23, ... es cuadrática porque sus segundas diferencias son constantes e iguales a $2$ .

Determinación de los coeficientes (complemento)

Aunque la página no lo pide explícitamente, el método permite hallar $a$ , $b$ y $c$ :

La segunda diferencia constante es $2a$ , entonces $2a=2 \Rightarrow a=1$ .
Para $n=1$ : $a+b+c=5 \Rightarrow 1+b+c=5 \Rightarrow b+c=4$ .
Para $n=2$ : $4a+2b+c=9 \Rightarrow 4+2b+c=9 \Rightarrow 2b+c=5$ .
Restando: $(2b+c)-(b+c)=5-4 \Rightarrow b=1$ .
Entonces $c=4-1=3$ .

Respuesta: $S_n = n^{2}+n+3$ .

Verificación: $n=3 \Rightarrow 9+3+3=15$ ; $n=4 \Rightarrow 16+4+3=23$ . Correcto.

Contenido de la página

Para obtener la representación algebraica de esta sucesión de figuras, se registra cuántos elementos forman la figura en cada posición de la sucesión. Después, se organiza la información, como se muestra a continuación.

Posición	1	2	3	4	...	n
Términos de la sucesión	5	9	15	23	...	$S_n$

Enseguida, se describe el método de las diferencias para determinar los valores de los coeficientes de la expresión cuadrática $an^{2}+bn+c$ , es decir, los valores de $a$ , $b$ y $c$ , que determinan cualquier término de la sucesión anterior.

Usando la información de la tabla anterior, se calculan las restas entre los términos de la sucesión (primeras diferencias), así como las restas de las primeras diferencias (segundas diferencias), como se muestra a continuación.

Posición (n)	1	2	3	4	...	n
Términos de la sucesión	5	9	15	23	...	$S_n$
Primeras diferencias		4	6	8	...
Segundas diferencias			2	2	...

Se puede notar que el valor de las segundas diferencias siempre es constante, en este caso es 2; por tanto, se tiene una sucesión con progresión cuadrática.

Ejemplos resueltos

Determinar si la sucesión 5, 9, 15, 23, ... es cuadrática y encontrar su expresión general.

Primeras diferencias: 4, 6, 8. Segundas diferencias: 2, 2. Como son constantes, es cuadrática. Con $2a=2 \Rightarrow a=1$ ; usando $n=1$ y $n=2$ se obtiene $b=1$ y $c=3$ . Por tanto, $S_n = n^{2}+n+3$ .

Tablas (2)

Posición	1	2	3	4	...	n
Términos de la sucesión	5	9	15	23	...	$S_n$

Posición (n)	1	2	3	4	...	n
Términos de la sucesión	5	9	15	23	...	$S_n$
Primeras diferencias		4	6	8	...
Segundas diferencias			2	2	...

Fórmulas y ecuaciones

$S_n$ = $an^{2}+bn+c$

2a = 2

$S_n$ = $n^{2}+n+3$

Glosario (4)

Sucesión: Conjunto ordenado de números o figuras que siguen un patrón.
Primeras diferencias: Restas entre términos consecutivos de una sucesión.
Segundas diferencias: Restas entre las primeras diferencias consecutivas.
Progresión cuadrática: Sucesión cuya expresión general es de la forma $an^{2}+bn+c$ y cuyas segundas diferencias son constantes.

Preguntas para practicar

¿Por qué es útil el método de las diferencias para encontrar la expresión algebraica de una sucesión?

Porque permite identificar el tipo de sucesión (aritmética, cuadrática, etc.) y calcular sus coeficientes de manera sistemática. Si las primeras diferencias son constantes, es lineal; si las segundas lo son, es cuadrática. Así se obtiene la fórmula general que describe cualquier término.

Temas y conceptos clave

Sucesiones cuadráticasMétodo de las diferenciasPrimeras diferenciasSegundas diferenciasProgresión cuadráticaCoeficientes a, b, c

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo saber si una sucesión es cuadrática?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué significa que las segundas diferencias sean constantes?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se encuentra la fórmula general de una sucesión cuadrática?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Identificar patrones en sucesiones
• Operaciones básicas con números enteros
• Sustitución en expresiones algebraicas

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Aplicación del método de las diferencias para encontrar el término n-ésimo de sucesiones cuadráticas

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1634 caracteres

Enseguida, se describe el método de las diferencias para determinar los valores de los coeficientes de la expresión cuadrática $an^{2}+bn+c,$ , es decir, los valores de a, b y c, que determinan cualquier término de la sucesión anterior.

Usando la información de la tabla anterior, se calculan las restas entre los términos de la sucesión (primeras diferencias),así como las restas de las primeras diferencias (segundas diferencias), como se muestra a continuación.

Se puede notar que el valor de las segundas diferencias siempre es constante, en este caso es 2; por tanto, se tiene una sucesión con progresión cuadrática.

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