Representación algebraica de sucesiones con progresión cuadrática
Respuesta rápida
S_n = 3n^{2}-5n+6
Solución — Página 111
Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026
Explicación del método
Una sucesión tiene progresión cuadrática cuando sus segundas diferencias son constantes. Su término general es de la forma:
S_n = an^{2}+bn+c
Para encontrar a, b y c se usan tres equivalencias:
- El doble del coeficiente a es igual a la constante de las segundas diferencias: 2a = \Delta_2.
- La expresión 3a+b es igual al primer valor de las primeras diferencias: 3a+b = \Delta_1.
- La expresión a+b+c es igual al término inicial: a+b+c = S_1.
Resolviendo el sistema se obtienen a, b y c, y se sustituyen en an^{2}+bn+c.
Ejemplo
Determinar la expresión algebraica del término n-ésimo de la sucesión 4, 8, 18, 34, 56, \dots
- Se calculan las primeras diferencias:
8-4=4,\quad 18-8=10,\quad 34-18=16,\quad 56-34=22
- Se calculan las segundas diferencias:
10-4=6,\quad 16-10=6,\quad 22-16=6
La segunda diferencia constante es 6, entonces:
2a = 6 \Rightarrow a = 3
- El primer valor de las primeras diferencias es 4:
3a+b = 4 \Rightarrow 3(3)+b = 4 \Rightarrow 9+b=4 \Rightarrow b=-5
- El término inicial es 4:
a+b+c = 4 \Rightarrow 3+(-5)+c=4 \Rightarrow -2+c=4 \Rightarrow c=6
- Se sustituye en la forma general:
S_n = 3n^{2}-5n+6
Respuesta: S_n = 3n^{2}-5n+6
Verificación: para n=1: 3(1)-5(1)+6=4; para n=2: 3(4)-5(2)+6=8; para n=3: 3(9)-5(3)+6=18. Coincide con la sucesión.
Contenido de la página
Representación algebraica de sucesiones de números con progresión cuadrática
Una sucesión de números con progresión cuadrática es una secuencia de números, de tal modo que las segundas diferencias de la sucesión siempre son un valor constante. Este tipo de sucesiones se representan, de manera general, mediante una expresión algebraica de segundo grado como ésta:
an^{2}+bn+c
Para establecer la representación algebraica del término n-ésimo de una sucesión de números con progresión cuadrática an^{2}+bn+c, se pueden utilizar las siguientes equivalencias:
- El doble del valor del coeficiente a es equivalente a la constante de las segundas diferencias.
- La expresión 3a+b es equivalente al primer valor de las primeras diferencias.
- La expresión a+b+c es equivalente al término inicial de la sucesión.
De modo que, al resolver el sistema de ecuaciones, se obtienen los valores para a, b y c, y al sustituirlos en la expresión an^{2}+bn+c, se tiene la expresión para el término n-ésimo de la sucesión.
Ejemplo
Determinar la expresión algebraica del término n-ésimo de la sucesión 4, 8, 18, 34, 56, \dots
Primero se calculan las primeras y segundas diferencias de la sucesión como se muestra en la tabla siguiente:
| Posición (n) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … | n |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Términos de la sucesión | 4 | 8 | 18 | 34 | 56 | … | S_n |
| Primeras diferencias | 4 | 10 | 16 | 22 | … | ||
| Segundas diferencias | 6 | 6 | 6 | … |
Para establecer la representación algebraica de la sucesión an^{2}+bn+c, se procede como se hizo con anterioridad.
Ejemplos resueltos
Determinar la expresión algebraica del término n-ésimo de la sucesión 4, 8, 18, 34, 56, \dots
Primeras diferencias: 4, 10, 16, 22. Segundas diferencias: 6, 6, 6 (constante).
2a=6 \Rightarrow a=3.
3a+b=4 \Rightarrow 9+b=4 \Rightarrow b=-5.
a+b+c=4 \Rightarrow 3-5+c=4 \Rightarrow c=6.
Por lo tanto, S_n = 3n^{2}-5n+6.
Tabla
| Posición (n) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … | n |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Términos de la sucesión | 4 | 8 | 18 | 34 | 56 | … | S_n |
| Primeras diferencias | 4 | 10 | 16 | 22 | … | ||
| Segundas diferencias | 6 | 6 | 6 | … |
Fórmulas y ecuaciones
S_n = an^{2}+bn+c
2a = \text{constante de las segundas diferencias}
3a+b = \text{primer valor de las primeras diferencias}
a+b+c = \text{término inicial}
S_n = an^{2}+bn+c
2a = \Delta_2
3a+b = \Delta_1
a+b+c = S_1
Glosario (4)
- Progresión cuadrática
- Sucesión numérica en la que las segundas diferencias entre términos consecutivos son constantes.
- Primeras diferencias
- Resultado de restar cada término menos el anterior en una sucesión.
- Segundas diferencias
- Diferencias calculadas sobre las primeras diferencias; si son constantes, la sucesión es cuadrática.
- Término n-ésimo
- Expresión algebraica que permite calcular cualquier término de la sucesión a partir de su posición n.
Temas y conceptos clave
Preguntas que la gente también hace
¿Cómo saber si una sucesión es cuadrática?
¿Qué significa que las segundas diferencias sean constantes?
¿Cómo se calcula el término n-ésimo de una sucesión cuadrática?
- • Identificar patrones numéricos
- • Calcular diferencias entre términos consecutivos
- • Resolver sistemas de ecuaciones lineales 3x3
- • Sustituir valores en expresiones algebraicas
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1970 caracteres
Representación algebraica de sucesiones de números con progresión cuadrática
Una sucesión de números con progresión cuadrática es una secuencia de números, de tal modo que las segundas diferencias de la sucesión siempre son un valor constante. Este tipo de sucesiones se representan, de manera general, mediante una expresión algebraica de segundo grado como ésta: an^{2}+bn+c
Para establecer la representación algebraica del término n-ésimo de una sucesión de números con progresión cuadrática a n^{2}+b n+c ,se pueden utilizar las siguientes equivalencias:
c l doble del valor del coeficiente a es equivalente a la constante de las segundas diferencias.
Laexpresión 3a+b es equivalente al primer valor de las primeras diferencias.
a expresión a+b+c es equivalente al término inicial de la sucesión.
De modo que, al resolver el sistema de ecuaciones, se obtienen los valores para a,b y c y, ,al sustituirlos en la expresión a n^{2}+b n+c , se tiene la expresión para el término n-ésimo de la sucesión.
Ejemplo
Determinar la expresión algebraica del término n-\varepsilon\mathrm{sim} dela sucesión 4, 8,18, 34, 56,...
Para establecer la representación algebraica de la sucesión an^{2}+bn+c , se procede como se hizo con anterioridad.
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Primero se calculan las primeras y segundas diferencias de la sucesión como se muestra en la tabla siguiente:
| Posición (n) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … | n | ||
| Terminos de la sucesión | 4 | 8 | 18 | 34 | 56 | … | S_{n} | ||
| Primeras diferencias | 4 | 10 | 16 | 22 | … | Segundas diferencias | 6 | 6 | |
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