Tercera ley de Kepler: período y distancia media al Sol
Respuesta rápida
T^{2} = k \cdot r^{3}; k depende de la masa del Sol. Ejemplo: Marte, r=1.52 UA, T\approx1.87 años.
Solución — Página 167
Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026
Explicación de la Tercera Ley de Kepler
La página presenta la tercera ley de Kepler, también llamada ley armónica. Su enunciado es:
El cuadrado del período de un planeta (T^{2}) es directamente proporcional al cubo de su distancia media al Sol (r^{3}).
Matemáticamente:
T^{2} = k \cdot r^{3}
Donde:
- T = período orbital del planeta alrededor del Sol.
- k = constante de proporcionalidad que depende de la masa del Sol.
- r = distancia promedio del planeta al Sol (semieje mayor de la órbita).
Relación con la segunda ley
En la imagen superior se observa que el planeta tarda el mismo tiempo en recorrer el tramo P_{1} \to P_{2} que el tramo P_{3} \to P_{4}. Como el área barrida es igual, la velocidad es mayor en el tramo P_{1} \to P_{2} (más cercano al Sol) que en P_{3} \to P_{4} (más lejano). Esto corresponde a la segunda ley de Kepler (ley de las áreas).
Contexto histórico
Kepler retomó las observaciones de Tycho Brahe y la influencia del modelo copernicano para formular sus tres leyes. Con ellas pudo sustentar el modelo heliocéntrico y publicar tablas astronómicas.
Ejemplo de aplicación
Si un planeta tiene un período T = 1 año y una distancia media r = 1 UA (como la Tierra), entonces:
k = \frac{T^{2}}{r^{3}} = \frac{1^{2}}{1^{3}} = 1 \, \text{año}^{2}/\text{UA}^{3}
Para Marte, con r \approx 1.52 UA:
T^{2} = 1 \cdot (1.52)^{3} \approx 3.51 \implies T \approx 1.87 \, \text{años}
Respuesta: La tercera ley de Kepler se expresa como T^{2} = k \cdot r^{3} y permite relacionar el período orbital con la distancia media al Sol.
Contenido de la página
En la siguiente imagen se observa cómo el planeta tarda el mismo tiempo en pasar de P_{1} a P_{2} que de P_{3} a P_{4}. La velocidad es mayor en el tramo P_{1} a P_{2} que en el tramo P_{3} a P_{4}.
Después de retomar los trabajos de Tycho Brahe, Kepler enunció su tercera ley, que guarda relación con el movimiento de los planetas.
Tercera ley. El cuadrado del período de un planeta (T^{2}), es decir, el tiempo que tarda en completar una órbita, es directamente proporcional al cubo de su distancia media al Sol (r^{3}).
En términos matemáticos, esta ley se puede escribir así:
T^{2} = k \cdot r^{3}
Donde:
- T = Período del planeta alrededor del Sol
- k = Constante de proporcionalidad que depende de la masa del Sol
- r = Distancia promedio del planeta al Sol, es decir, la longitud del semieje mayor de su órbita
Los estudios de Tycho Brahe, sin duda, fueron muy importantes para Kepler. También lo fue la influencia del modelo propuesto por Copérnico. Con sus leyes, Kepler pudo hacer los cálculos necesarios para sustentar su investigación y publicar otros estudios, como las tablas astronómicas. Su trabajo contribuyó a la aceptación del modelo heliocéntrico.
Ejemplos resueltos
Calcula el período orbital de Marte si su distancia media al Sol es r = 1.52 UA y k = 1 \, \text{año}^{2}/\text{UA}^{3}.
- Aplicamos la tercera ley: T^{2} = k \cdot r^{3}.
- Sustituimos: T^{2} = 1 \cdot (1.52)^{3} = 3.511.
- Despejamos T: T = \sqrt{3.511} \approx 1.87 años.
Respuesta: T \approx 1.87 años.
Diagrama
graph TD
A[Tercera Ley de Kepler] --> B[T² = k · r³]
B --> C[T: período orbital]
B --> D[k: constante que depende de la masa del Sol]
B --> E[r: distancia media al Sol]
A --> F[Basada en observaciones de Tycho Brahe]
A --> G[Contribuyó al modelo heliocéntrico]
Fórmulas y ecuaciones
T^{2} = k \cdot r^{3}
T^{2} = k \cdot r^{3}
Glosario (5)
- Período orbital
- Tiempo que tarda un planeta en completar una vuelta alrededor del Sol.
- Distancia media
- Promedio de la distancia entre el planeta y el Sol a lo largo de su órbita; equivale al semieje mayor.
- Constante de proporcionalidad
- Factor k que relaciona T² y r³; depende de la masa del Sol.
- Semieje mayor
- Mitad del eje mayor de la elipse que describe la órbita.
- Modelo heliocéntrico
- Modelo astronómico que sitúa al Sol en el centro del sistema solar.
Preguntas para practicar
¿Por qué la velocidad del planeta es mayor en el tramo $P_{1}$ a $P_{2}$ que en el tramo $P_{3}$ a $P_{4}$?
Según la segunda ley de Kepler, el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. Como el tramo $P_{1}$ a $P_{2}$ está más cerca del Sol, el arco recorrido es mayor en el mismo tiempo, por lo que la velocidad es mayor. En cambio, en $P_{3}$ a $P_{4}$, al estar más lejos, el arco es menor y la velocidad disminuye.
¿Qué importancia tuvo el trabajo de Tycho Brahe para Kepler?
Tycho Brahe realizó observaciones astronómicas muy precisas durante años, especialmente de Marte. Kepler utilizó esos datos para deducir sus tres leyes del movimiento planetario. Sin esas mediciones, Kepler no habría podido formular sus leyes con la exactitud que lo hizo.
Temas y conceptos clave
Figuras de la página (2)
Preguntas que la gente también hace
¿Qué establece la tercera ley de Kepler?
¿Cómo se calcula la constante k en la tercera ley de Kepler?
¿Qué relación hay entre el período orbital y la distancia al Sol?
- • Concepto de órbita elíptica
- • Nociones de proporcionalidad directa
- • Potenciación y radicación
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1437 caracteres
En la siguiente imagen se observa cómo el planeta tarda el mismo tiempo en pasar de P_{1}\textrm{a}P_{2} que de P_{3}\;a\;P_{4} . La velocidad es mayor en el tramo P_{1}\textrm{a}P_{2} que en el tramo P_{3}\mathrm{~a~}P_{4}
P_{4}
F_{1}
F_{2}
P_{3}
Después de retomar los trabajos de Tycho Brahe, Kepler enunció su tercera ley, que guarda relación con el movimiento de los planetas.
(c Tercera ley. El cuadrado del periodo de un planeta (T2), es decir, el tiempo que tarda en completar una órbita, es directamente proporcional al cubo de su distancia media al Sol (r^{3}) ).
En términos matemáticos, esta ley se puede escribir así:
T^{2}=k\cdot r^{3}
Donde:
T= Periodo del planeta alrededor del Sol
k= Constante de proporcionalidad que depende de la masa del Sol
r=\Gamma istancia promedio del planeta al Sol,es decir, la longitud del semieje mayor de su órbita
Los estudios de Tycho Brahe, sin duda, fueron muyimportantes para Kepler. También lo fue la influencia del modelo propuesto por Copérnico.Con sus leyes, Kepler pudo hacer los cálculos necesarios para sustentar su investigación y publicar otros estudios, como las tablas astronómicas. Su trabajo contribuyó a la aceptación del modelo heliocéntrico.
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Tycho Brahe
Johannes Kepler
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