Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 2 EGB

SEP/CONALITEG

96/339

Rango, varianza y desviación estándar: ejemplo con tasas de inflación

📄 ejemplo matematica 🎓 secundaria · 2° Secundaria México 🇲🇽 MX 🗣 Español

Página 96

96 de 339

Anterior Página 96 / 339 Siguiente

Respuesta rápida

Grupo C: $R=55$ , $\bar{x}=44.4$ , $S^2=583.8$ , $S\approx 24.162$ . México: $R=20.90$ , $\bar{x}=8.33$ . UE: $R=1.02$ , $\bar{x}=2.31$ . EUA: $R=2.04$ , $\bar{x}=2.116$ .

matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 8 min lectura

Solución — Página 96

Colección Sk´asolil. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 2° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Completa el cálculo del grupo C: rango, media, varianza y desviación estándar para los datos $15, 27, 43, 70, 67$ .

Rango: $R = V_{\max} - V_{\min} = 70 - 15 = 55$ .
Media aritmética: $\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}=\frac{15+27+43+70+67}{5}=\frac{222}{5}=44.4$
Varianza (muestral, $n-1$ ): $S^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}$ $S^2=\frac{(15-44.4)^2+(27-44.4)^2+(43-44.4)^2+(70-44.4)^2+(67-44.4)^2}{5-1}$ $S^2=\frac{864.36+302.76+1.96+655.36+510.76}{4}=\frac{2335.2}{4}=583.8$
Desviación estándar: $S=\sqrt{583.8}\approx 24.162$

Respuesta

$R=55$ , $\bar{x}=44.4$ , $S^2=583.8$ , $S\approx 24.162$ .

Ejercicio 2

Con la tabla de tasas de inflación por quinquenio, calcula el rango y la media de cada territorio.

Parte 2.a

México

Datos: $24.51,\ 4.93,\ 4.44,\ 3.61,\ 4.16$ .
Rango: $R=24.51-3.61=20.90$ .
Media: $\bar{x}=\frac{24.51+4.93+4.44+3.61+4.16}{5}=\frac{41.65}{5}=8.33$ .

Respuesta

$R=20.90$ , $\bar{x}=8.33$ .

Parte 2.b

Unión Europea

Datos: $2.36,\ 2.55,\ 2.24,\ 1.69,\ 2.71$ .
Rango: $R=2.71-1.69=1.02$ .
Media: $\bar{x}=\frac{2.36+2.55+2.24+1.69+2.71}{5}=\frac{11.55}{5}=2.31$ .

Respuesta

$R=1.02$ , $\bar{x}=2.31$ .

Parte 2.c

Estados Unidos

Datos: $3.14,\ 2.53,\ 2.35,\ 1.46,\ 1.1$ .
Rango: $R=3.14-1.1=2.04$ .
Media: $\bar{x}=\frac{3.14+2.53+2.35+1.46+1.1}{5}=\frac{10.58}{5}=2.116$ .

Respuesta

$R=2.04$ , $\bar{x}=2.116$ .

Ejercicio 3

Interpreta: ¿qué territorio tuvo mayor variación y qué relación tiene con las medidas de tendencia central?

Comparo rangos: México $20.90$ , Estados Unidos $2.04$ , Unión Europea $1.02$ .
México presenta la mayor variación; su media ( $8.33$ ) está muy por encima de su mediana ( $4.44$ ), lo que indica asimetría por valores extremos.
La Unión Europea y Estados Unidos tienen variación pequeña; sus medias y medianas son cercanas.

Respuesta

México tiene la mayor variación; cuando la variación es mucha, los datos tienden a la mediana, y cuando es poca, tienden a la media.

Contenido de la página

En el grupo C:

$R = V_{\max} - V_{\min}$ $R = 70 - 15$ $R = 55$

$\bar{x}=\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{n}=\frac{15+27+43+70+67}{5}=44.4$

Por tanto,

$S^2=\sum_{i=1}^{n}\frac{(x_i-\bar{x})^2}{n-1}$

$S^2=\frac{(15-44.4)^2+(27-44.4)^2+(43-44.4)^2+(70-44.4)^2+(67-44.4)^2}{5-1}$

$S^2=\frac{2335.2}{4}=583.8$

Recuerda que para calcular $S$ se debe obtener la raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad. $S=24.162$

Lo anterior muestra que el valor del rango y la desviación estándar reflejan la variación en los datos; es decir, si su valor es 0, no existe variación en los datos, como en el grupo A, y cuanto mayor sea el valor de los datos, mayor es la variación.

Las medidas de tendencia central describen alrededor de qué valor tiende el conjunto de datos de acuerdo con su variación. Si no existe variación o es poca, los datos tienden a la media aritmética y a la mediana; si la variación es mucha, tienden a la mediana. A continuación, se verá un ejemplo que lo ilustra.

Ejemplo 2

La siguiente tabla muestra las tasas de inflación promedio de México, Estados Unidos y la Unión Europea en los cinco últimos quinquenios. Un quinquenio es un periodo de 5 años.

Tasas de inflación por quinquenio

Territorios	1996-2000	2001-2005	2006-2010	2011-2015	2016-2020
México	24.51	4.93	4.44	3.61	4.16
Unión Europea	2.36	2.55	2.24	1.69	2.71
Estados Unidos	3.14	2.53	2.35	1.46	1.1

Ejemplos resueltos

Calcula el rango, la media, la varianza y la desviación estándar del grupo C con los datos $15, 27, 43, 70, 67$ .

$R=70-15=55$ ; $\bar{x}=\frac{222}{5}=44.4$ ; $S^2=\frac{2335.2}{4}=583.8$ ; $S=\sqrt{583.8}\approx 24.162$ .

Con la tabla de tasas de inflación por quinquenio, calcula el rango y la media de México, la Unión Europea y Estados Unidos.

México: $R=20.90$ , $\bar{x}=8.33$ . Unión Europea: $R=1.02$ , $\bar{x}=2.31$ . Estados Unidos: $R=2.04$ , $\bar{x}=2.116$ .

Tabla

Territorios	1996-2000	2001-2005	2006-2010	2011-2015	2016-2020
México	24.51	4.93	4.44	3.61	4.16
Unión Europea	2.36	2.55	2.24	1.69	2.71
Estados Unidos	3.14	2.53	2.35	1.46	1.1

Diagrama

flowchart TD
  A[Medidas estadísticas] --> B[Medidas de tendencia central]
  A --> C[Medidas de dispersión]
  B --> B1[Media aritmética]
  B --> B2[Mediana]
  B --> B3[Moda]
  C --> C1[Rango]
  C --> C2[Varianza]
  C --> C3[Desviación estándar]

Fórmulas y ecuaciones

R = $V_{\max}$ - $V_{\min}$

$\bar{x}$ = $\frac{\sum x_i}{n}$

$S^2=$ $\frac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{n-1}$

S= $\sqrt{S^2}$

R = $V_{\max}$ - $V_{\min}$

$\bar{x}@@MATH_0@@\frac{x_i}{n}$

$S^2=\sum_{i=1}^{n}$ $\frac{(x_i-\bar{x})^2}{n-1}$

S= $\sqrt{S^2}$

Glosario (6)

Rango: Diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de un conjunto de datos.
Varianza: Promedio de las diferencias al cuadrado entre cada dato y la media.
Desviación estándar: Raíz cuadrada de la varianza; indica cuánto se dispersan los datos respecto a la media.
Quinquenio: Periodo de cinco años.
Media aritmética: Suma de todos los datos dividida entre el número de datos.
Mediana: Valor central de un conjunto de datos ordenados.

Preguntas para practicar

¿Por qué cuando la variación es mucha los datos tienden a la mediana y no a la media?

Porque la media es sensible a los valores extremos: un dato muy alto o muy bajo la desplaza. La mediana, en cambio, ocupa la posición central y no se altera por esos extremos, por lo que representa mejor al conjunto cuando la dispersión es grande.

¿Qué indica que la desviación estándar sea igual a cero?

Indica que todos los datos del conjunto son iguales, por lo que no existe variación. En ese caso, la media, la mediana y la moda coinciden con ese único valor.

Temas y conceptos clave

Medidas de dispersiónRangoVarianzaDesviación estándarMedidas de tendencia centralTasas de inflación por quinquenioRangoVarianza muestralDesviación estándarMedia aritméticaMedianaVariación de datos

¿Te fue útil esta página?

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula la varianza y la desviación estándar paso a paso?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué diferencia hay entre rango, varianza y desviación estándar?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué cuando la variación es mucha los datos tienden a la mediana?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Media aritmética
• Mediana
• Sumatoria y potencias
• Raíz cuadrada

Siguiente tema sugerido

Comparación de medidas de tendencia central y dispersión en conjuntos de datos

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1756 caracteres

En el grupo C:

$\begin{aligned}&R=V_{\min}-V_{\min}\\ &R=70-15\\ &R=55\\ &\overline{x}=\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{n}=\frac{15+27+43+70+67}{5}=44.4\\ &For into,\\ &S^2=\sum_{i=1}^{n}\frac{\left(x_i-\overline{x}\right)^2}{n-1}\\ &S^2=\frac{\left(15-44.4\right)^2+\left(27-44.4\right)^2+\left(43-44.4\right)^2+\left(70-44.4\right)^2+\left(67-44.4\right)^2}{5-1}\\ &S^2=\frac{2\ 335.2}{4}=583.8\\ \end{aligned}$

Recuerda que para calcular S se debe obtener la raiz cuadrada en ambos lados de la igualdad. $S=24.162$

Lo anterior muestra que el valor del rango y la desviación estándar refejan la variación en los datos; es decir, si su valor es 0, no existe variación en los datos, como en el grupo A, y cuanto mayor sea el valor de los datos, mayor es la variación.

Las medidas de tendencia central describen alrededor de quévalor tiende el conjunto de datos de acuerdo con su variación.Si no existe variación o es poca, los datos tienden a la media aritmética y a la mediana; si la variación es mucha, tienden a la mediana. A continuación, se verá un ejemplo que lo ilustra.

Ejemplo2

La siguiente tabla muestra las tasas de inflación promedio de México, Estados Unidos y la Unión Europea en los cinco últimos quinquenios. Un quinquenio es un periodo de 5 aos.

紫

Tasas de inflacion por quinquenio