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Resolución de problemas con ecuaciones cuadráticas: el cuadrado de un número menos 8

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Respuesta rápida

$m_{1}=8$ y $m_{2}=-8$ ; el número es 8 o -8.

matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 107

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

El cuadrado de un número menos 8 es igual a 56. Hallar el valor de dicho número.

Paso 1. Identificar la incógnita

Se desconoce el número, por lo que se representa con una literal.
Se elige la letra $m$ como incógnita.

Respuesta orientativa: la incógnita es $m$ .

Paso 2. Plantear la ecuación

"El cuadrado de un número" se escribe $m^{2}$ .
"Menos 8" se escribe $-8$ .
"Es igual a 56" se escribe $=56$ .

$m^{2}-8=56$

Respuesta orientativa: la ecuación es $m^{2}-8=56$ .

Paso 3. Resolver la ecuación

Se suma 8 en ambos lados para despejar el término cuadrático:

$m^{2}-8+8=56+8$

$m^{2}=64$

Se aplica raíz cuadrada en ambos lados (operación inversa de la potencia cuadrada):

$\sqrt{m^{2}}=\sqrt{64}$

Se obtienen las dos raíces:

$m=\pm 8 \quad \Rightarrow \quad m_{1}=8 \;\text{y}\; m_{2}=-8$

Paso 4. Interpretar la solución

Se verifica cada valor en la ecuación original:

$(8)^{2}-8=64-8=56 \;\checkmark$

$(-8)^{2}-8=64-8=56 \;\checkmark$

Como $(8)^{2}=(-8)^{2}=64$ , ambas soluciones son válidas.

Respuesta: el número puede ser $8$ o $-8$ .

Respuesta

$m_{1}=8$ y $m_{2}=-8$ .

Contenido de la página

Ejemplos de resolución de problemas por medio de ecuaciones cuadráticas

Una amplia variedad de problemas se pueden resolver mediante el planteamiento y la resolución de ecuaciones. De ellos, muchos se pueden solucionar con ecuaciones de segundo grado o cuadráticas, y dichos problemas pueden tener dos, una o ninguna solución.

Para resolver un problema que puede modelarse con ecuaciones cuadráticas, será necesario interpretar el enunciado, identificar qué dato se desconoce para asignarle la incógnita, plantear la ecuación que representa al problema y, finalmente, resolverlo e interpretar la solución obtenida.

A continuación, se presentan algunos problemas que se resuelven mediante el uso de ecuaciones cuadráticas.

Problema 1

El cuadrado de un número menos 8 es igual a 56. Hallar el valor de dicho número.

Los pasos del proceso se muestran a continuación:

Pasos	Consideraciones
1. Identificar la incógnita y asignarle una literal. Puede ser cualquier letra.	Como se desconoce el número, se le puede representar con la letra $m$ .
2. Plantear la ecuación.	El enunciado del problema plantea "el cuadrado de un número", por lo tanto, a la variable incógnita se le agrega el superíndice 2 y queda $m^{2}$ . El problema señala que el cuadrado de un número menos 8 es igual a 56, por lo tanto, se tiene: $m^{2}-8=56$
3. Resolver la ecuación.	Al sumar 8 en ambos lados de la ecuación se tiene: $m^{2}-8+8=56+8$ , $m^{2}=64$ . Se obtiene la raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad (la raíz cuadrada es la operación inversa de la potencia cuadrada): $\sqrt{m^{2}}=\sqrt{64}$ . Por lo que, $m=\pm 8$ , o bien $m_{1}=8$ y $m_{2}=-8$ .
4. Interpretar la solución.	En este caso existen dos soluciones, $m=8$ y $m=-8$ , ya que $(8)^{2}=(-8)^{2}=64$ , es decir, al sustituirlas en la ecuación, dos soluciones son válidas para resolver el problema.

Ejemplos resueltos

El cuadrado de un número menos 8 es igual a 56. Hallar el valor de dicho número.

Incógnita: $m$ .
Ecuación: $m^{2}-8=56$ .
Se suma 8: $m^{2}=64$ .
Raíz cuadrada: $m=\pm 8$ .
Verificación: $(8)^{2}-8=56$ y $(-8)^{2}-8=56$ .

Solución: $m_{1}=8$ y $m_{2}=-8$ .

Tabla

Pasos	Consideraciones
1. Identificar la incógnita y asignarle una literal. Puede ser cualquier letra.	Como se desconoce el número, se le puede representar con la letra $m$ .
2. Plantear la ecuación.	El enunciado del problema plantea "el cuadrado de un número", por lo tanto, a la variable incógnita se le agrega el superíndice 2 y queda $m^{2}$ . El problema señala que el cuadrado de un número menos 8 es igual a 56, por lo tanto, se tiene: $m^{2}-8=56$
3. Resolver la ecuación.	Al sumar 8 en ambos lados de la ecuación se tiene: $m^{2}-8+8=56+8$ , $m^{2}=64$ . Se obtiene la raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad (la raíz cuadrada es la operación inversa de la potencia cuadrada): $\sqrt{m^{2}}=\sqrt{64}$ . Por lo que, $m=\pm 8$ , o bien $m_{1}=8$ y $m_{2}=-8$ .
4. Interpretar la solución.	En este caso existen dos soluciones, $m=8$ y $m=-8$ , ya que $(8)^{2}=(-8)^{2}=64$ , es decir, al sustituirlas en la ecuación, dos soluciones son válidas para resolver el problema.

Diagrama

flowchart TD
    A[Leer el enunciado] --> B[Identificar la incógnita]
    B --> C[Plantear la ecuación]
    C --> D[Resolver la ecuación]
    D --> E[Interpretar y verificar la solución]

Fórmulas y ecuaciones

$m^{2}-8=56$

$m=\pm$ $\sqrt{64}$

$m^{2}-8=56$

$m^{2}-8+8=56+8$

$m^{2}=64$

$\sqrt{m^{2}}$ = $\sqrt{64}$

$m=\pm$ 8

$m_{1}=8,\$ ; $m_{2}=-8$

$(8)^{2}=(-8)^{2}=64$

Glosario (4)

Incógnita: Valor desconocido de un problema que se representa con una letra.
Ecuación cuadrática: Ecuación de segundo grado cuya forma general es $ax^{2}+bx+c=0$.
Raíz cuadrada: Operación inversa de elevar al cuadrado; si $x^{2}=a$, entonces $x=\pm\sqrt{a}$.
Solución o raíz: Valor que al sustituirse en la ecuación hace que la igualdad sea verdadera.

Preguntas para practicar

¿Por qué el problema tiene dos soluciones válidas?

Porque tanto 8 como -8, al elevarse al cuadrado, dan como resultado 64. Al sustituir cualquiera de los dos valores en la ecuación original se obtiene 56, por lo que ambas soluciones satisfacen la igualdad.

Temas y conceptos clave

Ecuaciones cuadráticasPlanteamiento de problemasResolución de ecuaciones de segundo gradoInterpretación de solucionesIncógnitaEcuación cuadráticaRaíz cuadradaSoluciones o raícesVerificación

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se plantea una ecuación cuadrática a partir de un problema?

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¿Por qué una ecuación cuadrática puede tener dos soluciones?

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¿Cómo se verifica si las soluciones de una ecuación cuadrática son correctas?

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📌 Antes de leer esto

• Operaciones básicas con números enteros
• Potenciación y radicación
• Lenguaje algebraico y uso de literales
• Ecuaciones lineales de primer grado

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Ejemplos de resolución de problemas por medio de ecuaciones cuadráticas

Para resolver un problema que puede modelarse con ecuaciones cuadráticas, seránecesario interpretar el enunciado, identificar qué dato se desconoce para asignarle la incógnita, plantear la ecuación que representa al problema y, finalmente,resolverlo e interpretar la solución obtenida.

A continuación, se presentan algunos problemas que se resuelven mediante el uso de ecuaciones cuadráticas.

Problema 1

El cuadrado de un número menos 8 es igual a 56. Hallar el valor de dicho número.

Los pasos del proceso se muestran a continuación:

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Pasos	Consideraciones
1.Identificar la incógnita y asignarle una literal. Puede ser cualquier letra.	Como se desconoce el número, se le puede representar con la letra m.
2. Plantear la ecuación.	El enunciado del problema plantea"el cuadrado de un número", por lo tanto, a la variable incógnita se le agrega el superindice 2 y queda m². El problema senala que el cuadrado de un número menos 8 es igual a 56, por lo tanto, se tiene: $m^{2}-8=56$
3. Resolver la ecuación.	Al sumar 8 en ambos lados de la ecuación se tiene: Se obtiene la raiz cuadrada en ambos lados de la igualdad (laraiz cuadrada es la operación inversa de la potencia cuadrada). Por lo que, $\sqrt{m^{2}}=\sqrt{64}$ $m^{2}-8+8=56+8$ $m=\pm8,\quad\mathrm{e}\quad\mathrm{b}\quad\mathrm{e}\quad\mathrm{m}_{1}=8\quad\mathrm{y}\quad\mathrm{m}_{2}=-8$ $m^{2}=64$
4.Interpretarla solución.	En este caso existen dos soluciones, ya que , es decir, al sustituirlas en la ecuación, dos soluciones son válidas para resolver el problema. $(8)^{2}=(-8)^{2}=64$ $m=8\text{μ }\text{μ }=-8$