Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3 EGB

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Resolución de problemas con ecuaciones cuadráticas: fórmula general

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Respuesta rápida

$w_{1}=9$ , $w_{2}=-12$ . Se descarta $-12$ ; el hermano tiene $9$ años y Emmanuel $12$ años.

matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 109

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Paso 3: Resolver la ecuación

Se parte de la ecuación planteada en el paso anterior:

$w^{2}+w^{2}+2(w)(3)+9=225$

Se desarrolla el binomio cuadrado y se reducen términos semejantes:

$w^{2}+w^{2}+6w+9=225$

$2w^{2}+6w+9-225=0$

$2w^{2}+6w-216=0$

Se identifican los coeficientes: $a=2$ , $b=6$ , $c=-216$ .
Se sustituyen en la fórmula general:

$w=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-6\pm\sqrt{6^{2}-4(2)(-216)}}{2(2)}$

Se realizan las operaciones dentro de la raíz:

$w=\frac{-6\pm\sqrt{36+1728}}{4}=\frac{-6\pm\sqrt{1764}}{4}$

$\sqrt{1764}=42$

Se obtienen las dos soluciones:

Solución 1:

$w_{1}=\frac{-6+42}{4}=\frac{36}{4}=9$

Solución 2:

$w_{2}=\frac{-6-42}{4}=\frac{-48}{4}=-12$

Respuesta: $w_{1}=9$ y $w_{2}=-12$ .

Paso 4: Interpretar la solución

La ecuación cuadrática arroja una solución positiva ( $w=9$ ) y una negativa ( $w=-12$ ). Como $w$ representa una edad, no puede ser negativa; por lo tanto, se descarta $w=-12$ .

Respuesta orientativa: La edad del hermano es $9$ años y la de Emmanuel es $12$ años (ya que $9+3=12$ ).

Recomendaciones para plantear problemas

Para resolver un problema mediante ecuaciones cuadráticas conviene identificar palabras clave como qué, cuántos y cómo. Estas ayudan a reconocer la cantidad desconocida y a establecer relaciones matemáticas entre los datos conocidos y desconocidos. Otras palabras funcionan como claves lingüísticas de igualdades y operaciones, lo que permite expresar las relaciones en forma de ecuaciones. Además, se requieren procedimientos algebraicos como la factorización y la fórmula general para encontrar el valor de los datos desconocidos.

Contenido de la página

Pasos	Consideraciones
3. Resolver la ecuación.	Para resolver la ecuación se desarrolla el binomio cuadrado: $w^{2}+w^{2}+2(w)(3)+9=225$ ; $w^{2}+w^{2}+6w+9=225$ ; $2w^{2}+6w-216=0$ . Al aplicar la fórmula general para resolver la ecuación, se sustituyen los valores de los coeficientes de cada uno de los términos, esto es, $a=2$ , $b=6$ y $c=-216$ : $w=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4(a)(c)}}{2(a)}=\frac{-6\pm\sqrt{6^{2}-4(2)(-216)}}{2(2)}$ . Se realizan las operaciones de la fracción incluyendo la raíz cuadrada: $w=\frac{-6\pm\sqrt{1764}}{2(2)}$ . Solución 1: $w_{1}=\frac{-6+42}{4}$ ; $w_{1}=\frac{36}{4}$ ; y después dividir: $w_{1}=9$ . Solución 2: $w_{2}=\frac{-6-42}{4}$ ; $w_{2}=\frac{-48}{4}$ ; y después dividir: $w_{2}=-12$ .
4. Interpretar la solución.	En la resolución de la ecuación cuadrática se puede observar que hay una solución negativa y otra positiva, pero como no hay edades negativas se descarta la solución negativa y se concluye que la edad del hermano es de 9 años; por lo tanto, la de Emmanuel es de 12 años.

Pasos

Consideraciones

3. Resolver la ecuación.

Para resolver la ecuación se desarrolla el binomio cuadrado:

w^{2}+w^{2}+2(w)(3)+9=225

;

w^{2}+w^{2}+6w+9=225

;

2w^{2}+6w-216=0

. Al aplicar la fórmula general para resolver la ecuación, se sustituyen los valores de los coeficientes de cada uno de los términos, esto es,

a=2

b=6

c=-216

w=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4(a)(c)}}{2(a)}=\frac{-6\pm\sqrt{6^{2}-4(2)(-216)}}{2(2)}

. Se realizan las operaciones de la fracción incluyendo la raíz cuadrada:

w=\frac{-6\pm\sqrt{1764}}{2(2)}

. Solución 1:

w_{1}=\frac{-6+42}{4}

;

w_{1}=\frac{36}{4}

; y después dividir:

w_{1}=9

. Solución 2:

w_{2}=\frac{-6-42}{4}

;

w_{2}=\frac{-48}{4}

; y después dividir:

w_{2}=-12

4. Interpretar la solución.

En la resolución de la ecuación cuadrática se puede observar que hay una solución negativa y otra positiva, pero como no hay edades negativas se descarta la solución negativa y se concluye que la edad del hermano es de 9 años; por lo tanto, la de Emmanuel es de 12 años.

Para resolver un problema mediante el uso de ecuaciones cuadráticas, conviene valerse de palabras clave como qué, cuántos y cómo. Dichas palabras pueden ayudar a identificar la cantidad desconocida para después buscar relaciones matemáticas entre las cantidades conocidas y desconocidas. Otras palabras sirven como claves lingüísticas de igualdades y operaciones que ayudan a expresar las relaciones en forma de ecuaciones.

Para la resolución de problemas por medio de ecuaciones cuadráticas, se requiere conocer procedimientos algebraicos para encontrar el valor de los datos desconocidos, como la factorización y la fórmula general.

Ejemplos resueltos

La suma de los cuadrados de dos edades consecutivas es 225. Si el hermano menor tiene $w$ años y Emmanuel tiene $w+3$ años, plantea y resuelve la ecuación cuadrática.

Se desarrolla el binomio: $w^{2}+(w+3)^{2}=225$ ; $w^{2}+w^{2}+6w+9=225$ ; $2w^{2}+6w-216=0$ . Con $a=2$ , $b=6$ , $c=-216$ : $w=\frac{-6\pm\sqrt{36+1728}}{4}=\frac{-6\pm 42}{4}$ . Soluciones: $w_{1}=9$ , $w_{2}=-12$ . Se descarta la negativa. El hermano tiene 9 años y Emmanuel 12 años.

Tabla

Pasos	Consideraciones
3. Resolver la ecuación.	Se desarrolla el binomio, se aplica la fórmula general y se obtienen $w_{1}=9$ y $w_{2}=-12$ .
4. Interpretar la solución.	Se descarta la solución negativa; el hermano tiene 9 años y Emmanuel 12 años.

Fórmulas y ecuaciones

w= $\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$w^{2}+w^{2}+2(w)(3)+9=225$

$2w^{2}+6w-216=0$

w= $\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

w= $\frac{-6\pm\sqrt{1764}}{4}$

$w_{1}=9$

$w_{2}=-12$

Glosario (4)

Ecuación cuadrática: Ecuación polinómica de segundo grado de la forma $ax^{2}+bx+c=0$.
Fórmula general: Expresión $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ que permite hallar las raíces de una ecuación cuadrática.
Binomio cuadrado: Producto notable $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$.
Discriminante: Expresión $b^{2}-4ac$ que indica el número y tipo de soluciones de una ecuación cuadrática.

Preguntas para practicar

¿Por qué se descarta la solución negativa en este problema?

Porque la incógnita representa una edad y las edades no pueden ser negativas. En problemas aplicados, siempre se debe verificar que las soluciones tengan sentido en el contexto.

¿Qué palabras clave ayudan a plantear una ecuación cuadrática a partir de un problema verbal?

Palabras como *qué*, *cuántos* y *cómo* ayudan a identificar la incógnita; términos como *suma*, *producto*, *diferencia* o *cuadrado* indican las operaciones y relaciones que se traducen en ecuaciones.

Temas y conceptos clave

Ecuaciones cuadráticasFórmula generalResolución de problemasBinomio cuadradoCoeficientes a, b, cDiscriminanteRaíces de la ecuaciónInterpretación de soluciones

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática por fórmula general?

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¿Qué significa descartar una solución negativa en un problema de edades?

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¿Cómo plantear una ecuación cuadrática a partir de un problema verbal?

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📌 Antes de leer esto

• Operaciones con números enteros
• Desarrollo de binomios al cuadrado
• Sustitución de valores en fórmulas
• Simplificación de radicales

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Aplicaciones de la ecuación cuadrática en contextos geométricos y de la vida cotidiana

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Para resolver un problema mediante el uso de ecuaciones cuadráticas, conviene valerse de palabras clave como qué, cuántos y cómo. Dichas palabras pueden ayudar a identificar la cantidad desconocida para después buscar relaciones matemáticas entre las cantidades conocidas y desconocidas. Otras palabras sirven como claves lingüisticas de igualdades y operaciones que ayudan a expresar las relaciones en forma de ecuaciones.

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Pasos	Consideraciones
3. Resolver la ecuación.	Para resolver la ecuación se desarrolla el binomio cuadrado: Al aplicar la fórmula general para resolver la ecuación, se sustituyen los valores los coeficientes de cada uno de los términos, esto es, Se realizan las operaciones de la fracción incluyendo la raiz cudrada: y después dividir: y después dividir: $w_{2}=\frac{-48}{4}$ $w=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4(a)(c)}}{2(a)}=\frac{-6\pm\sqrt{b^2-4(2)(-216)}}{2(2)}$ $w=\frac{-6\pm\sqrt{1764}}{2(2)}$ $y_{c}=-216;$ $w_{2}=-12$ $a=2,b=6$ $w_{1}=9$ $\begin{align}w^{2}+w^{2}+2(w)(3)+9&=225,\\w^{2}+w^{2}+6w+9&=225,\\2w^{2}+6w-216&=0\end{align}$ $\mathrm{Soluci}\hat{\alpha}\;2:w_2=\frac{-6-42}{4}$ $\begin{aligned}\mathrm{Soluci}\hat{\mathrm{e}}\mathrm{n}:w_{1}&=\frac{-6+42}{4}\\w_{1}&=\frac{36}{4}\end{aligned}$

	4.Interpretar la solución.