Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3 EGB

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Cálculo de la altura en prismas y pirámides a partir del volumen

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Respuesta rápida

Estanque: $h = 3\,\text{m}$ . Pirámide: $l = 3\,\text{cm}$ , $h = 2\,\text{cm}$ , $A_{T} = 24\,\text{cm}^{2}$ .

matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 104

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Ejemplo 1: Profundidad de un estanque (prisma rectangular)

Se conocen el volumen $V = 900\,\text{m}^{3}$ y el área de la base $A_{B} = 300\,\text{m}^{2}$ . Se usa la fórmula del volumen del prisma:

$V = A_{B}\,h$

Sustituir los valores conocidos:

$900 = 300\,h$

Despejar la altura dividiendo entre 300:

$\frac{900}{300} = h$

Simplificar:

$h = 3$

Respuesta: La profundidad del estanque es $3\,\text{m}$ .

Ejemplo 2: Pirámide cuadrangular (maqueta de arquitectura)

Datos: $V = 6\,\text{cm}^{3}$ , $A_{B} = 9\,\text{cm}^{2}$ , apotema de la pirámide $= 2.5\,\text{cm}$ .

Parte 1.a

Lado de la base

La base es un cuadrado de área $A_{B} = l^{2}$ :

$l^{2} = 9 \Rightarrow l = \sqrt{9} = 3$

Respuesta

$l = 3\,\text{cm}$ .

Parte 1.b

Altura de la pirámide

Fórmula del volumen de la pirámide:

$V = \frac{A_{B}\,h}{3}$

Sustituir valores:

$6 = \frac{9\,h}{3}$

Multiplicar ambos lados por 3:

$6(3) = 9h \Rightarrow 18 = 9h$

Dividir entre 9:

$\frac{18}{9} = h \Rightarrow h = 2$

Respuesta

$h = 2\,\text{cm}$ .

Parte 1.c

Área total de la pirámide

El área total es $A_{T} = A_{B} + A_{L}$ , donde $A_{L}$ es el área lateral. Cada cara lateral es un triángulo de base $l = 3\,\text{cm}$ y altura (apotema) $a = 2.5\,\text{cm}$ :

$A_{\text{cara}} = \frac{l \cdot a}{2} = \frac{3 \cdot 2.5}{2} = 3.75\,\text{cm}^{2}$

Como hay 4 caras laterales:

$A_{L} = 4 \cdot 3.75 = 15\,\text{cm}^{2}$

$A_{T} = 9 + 15 = 24\,\text{cm}^{2}$

Respuesta

$A_{T} = 24\,\text{cm}^{2}$ .

Contenido de la página

Para calcular la profundidad del estanque, se sustituyen los valores conocidos en la fórmula de volumen, luego se despeja y se determina el valor de la altura:

$V = A_{B}h$ $900 = 300h$ $\frac{900}{300} = h$ $h = 3$

Por lo tanto, la altura del prisma rectangular o la profundidad del estanque debe ser de 3 m.

Otro ejemplo del cálculo de una variable en función de otras es el siguiente:

Un estudiante de arquitectura desea hacer la maqueta de una pirámide cuadrangular con un volumen de $6\,\text{cm}^{3}$ . El área de la base es de $9\,\text{cm}^{2}$ y la altura lateral (apotema de la pirámide) es de 2.5 cm.

Para iniciar la construcción de la maqueta, se requiere calcular cuánto mide un lado de la base ( $l$ ), la altura de la pirámide ( $h$ ) y, para saber la cantidad de material que se utilizará, es necesario calcular el área total de la pirámide ( $A_{T}$ ).

Si la base es cuadrangular y su área es igual a $9\,\text{cm}^{2}$ , entonces $l = 3\,\text{cm}$ .

Si $V = 6\,\text{cm}^{3}$ y $A_{B} = 9\,\text{cm}^{2}$ , entonces al sustituir estos valores en la fórmula del volumen de la pirámide y despejar la altura se tiene:

$V = \frac{A_{B}h}{3}$ $6 = \frac{9h}{3}$ $6(3) = 9h$ $18 = 9h$ $\frac{18}{9} = h$ $h = 2$

Por tanto, la altura de la pirámide debe ser de 2 cm.

Ejemplos resueltos

Calcular la profundidad de un estanque con forma de prisma rectangular cuyo volumen es $900\,\text{m}^{3}$ y el área de su base es $300\,\text{m}^{2}$ .

$V = A_{B}h \Rightarrow 900 = 300h \Rightarrow h = \frac{900}{300} = 3\,\text{m}$ .

Un estudiante de arquitectura desea hacer la maqueta de una pirámide cuadrangular con volumen de $6\,\text{cm}^{3}$ , área de base $9\,\text{cm}^{2}$ y apotema $2.5\,\text{cm}$ . Calcular el lado de la base, la altura y el área total.

$l = \sqrt{9} = 3\,\text{cm}$ . $V = \frac{A_{B}h}{3} \Rightarrow 6 = \frac{9h}{3} \Rightarrow 18 = 9h \Rightarrow h = 2\,\text{cm}$ . $A_{L} = 4 \cdot \frac{3 \cdot 2.5}{2} = 15\,\text{cm}^{2}$ . $A_{T} = 9 + 15 = 24\,\text{cm}^{2}$ .

Diagrama

graph TD
  A[Volumen de cuerpos geométricos] --> B[Prisma rectangular]
  A --> C[Pirámide cuadrangular]
  B --> D[V = A_B · h]
  C --> E[V = (A_B · h) / 3]
  C --> F[A_T = A_B + A_L]
  F --> G[A_L = 4 · (l · apotema / 2)]

Fórmulas y ecuaciones

V = $A_{B}h$

V = $\frac{A_{B}h}{3}$

V = $A_{B}h$

V = $\frac{A_{B}h}{3}$

$A_{T}$ = $A_{B}$ + $A_{L}$

$A_{$ $\text{cara}$ } = $\frac{l \cdot a}{2}$

Glosario (4)

Volumen: Medida del espacio que ocupa un cuerpo geométrico.
Área de la base: Superficie de la cara sobre la que se apoya el cuerpo.
Apotema de la pirámide: Altura de una cara lateral de la pirámide.
Área total: Suma del área de la base y del área lateral de un cuerpo geométrico.

Temas y conceptos clave

Volumen de prismasVolumen de pirámidesDespeje de variablesÁrea totalVolumenÁrea de la baseAlturaApotemaÁrea totalDespeje

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Figuras de la página (1)

Pirámide cuadrangular con etiquetas: volumen V = 6 cm³, área de la base 9 cm², altura de la pirámide (h), apotema o altura lateral 2.5 cm y lado de la base (l). — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se despeja la altura en la fórmula del volumen de un prisma?

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¿Cómo se calcula el área total de una pirámide cuadrangular?

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¿Qué diferencia hay entre apotema de la pirámide y altura de la pirámide?

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📌 Antes de leer esto

• Fórmula del área de un cuadrado
• Fórmula del área de un triángulo
• Operaciones básicas y despeje de ecuaciones lineales
• Unidades de volumen y superficie

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Cálculo del volumen y área total de cilindros y conos

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1296 caracteres

Para calcular la profundidad del estanque, se sustituyen los valores conocidos en la fórmula de volumen, luego se despeja y se determina el valor de la altura:

$\begin{aligned}V&=A_{B}b\\900&=300b\\\frac{900}{300}&=b\\b&=3\end{aligned}$

Por lo tanto, la altura del prisma rectangular o la profundidad del estanque debe ser de 3 m.

Otro ejemplo del cálculo de una variable en función de otras es el siguiente:

Un estudiante de arquitectura desea hacer la maqueta de una pirámide cuadrangular con un volumen de $6\ cm^{3}$ . El área de la base es de $9\ cm^{2}\ y$ la altura lateral (apotema de la pirámide) es de 2.5 cm.

Para iniciar la construcción de la maqueta, se requiere calcular cuánto mide un lado de la base (l), la altura de la pirámide (h) y, para saber la cantidad de material que se utilizará, es necesario calcular el área total de la pirámide $(A_{T})$

Si la base es cuadrangular y su área es igual a 9 cm2, entonces $l=3cm$

Si $V=6cm^{3}yA_{B}=9$ y despejar la altura se tiene:

$\begin{aligned}&V=\frac{\left(A_{B}b\right)^{2}}{3}\\ &\therefore6=\frac{9b}{3}\\ &\therefore6(3)=9b\\ &\therefore18=9b\\ &\therefore\frac{18}{9}=b\\ &\therefore b=2\\ \end{aligned}$

Por tanto, la altura de la pirámide debe ser de 2 cm.

求

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