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Razones trigonométricas: seno, coseno y tangente

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Respuesta rápida

$\text{seno } \angle H = \frac{4}{5}$ , $\text{coseno } \angle H = \frac{3}{5}$ , $\text{tangente } \angle H = \frac{4}{3}$ .

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 111

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Explicación teórica

La trigonometría estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos rectángulos. En un triángulo rectángulo, el ángulo de $90^\circ$ está formado por los catetos; el lado opuesto a ese ángulo es la hipotenusa, que siempre es el lado de mayor longitud.

Para un ángulo agudo $\angle A$ , se definen:

$\text{seno } \angle A = \frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Hipotenusa}} = \frac{CO}{HIP}$

$\text{coseno } \angle A = \frac{\text{Cateto Adyacente}}{\text{Hipotenusa}} = \frac{CA}{HIP}$

$\text{tangente } \angle A = \frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Cateto Adyacente}} = \frac{CO}{CA}$

Ejemplo resuelto

En el triángulo rectángulo $H\!F\!G$ con ángulo recto en $F$ , se conocen:

$HF = 6 \, \text{cm}$ (cateto adyacente a $\angle H$ )
$FG = 8 \, \text{cm}$ (cateto opuesto a $\angle H$ )
$HG = 10 \, \text{cm}$ (hipotenusa)

Se pide calcular las razones trigonométricas para el ángulo $\angle H$ .

Identificar los lados respecto a $\angle H$ :
- Cateto opuesto: $FG = 8 \, \text{cm}$
- Cateto adyacente: $HF = 6 \, \text{cm}$
- Hipotenusa: $HG = 10 \, \text{cm}$
Calcular el seno: $\text{seno } \angle H = \frac{CO}{HIP} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} = 0.8$
Calcular el coseno: $\text{coseno } \angle H = \frac{CA}{HIP} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 0.6$
Calcular la tangente: $\text{tangente } \angle H = \frac{CO}{CA} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \approx 1.333$

Respuesta: $\text{seno } \angle H = \frac{4}{5}$ , $\text{coseno } \angle H = \frac{3}{5}$ , $\text{tangente } \angle H = \frac{4}{3}$ .

Contenido de la página

Razones trigonométricas seno, coseno y tangente

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos rectángulos a partir del criterio de semejanza de triángulos, y es muy útil para conocer las razones y las proporciones entre las medidas de los lados correspondientes en los triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas son los cocientes que surgen al realizar comparaciones entre dos lados de cualquier triángulo rectángulo. En un triángulo rectángulo, el ángulo de $90^\circ$ está formado por los dos lados conocidos como catetos. El lado opuesto al ángulo de $90^\circ$ se llama hipotenusa, el cual siempre es el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo. Así, los lados de un triángulo tienen una particularidad en relación con el ángulo al cual se aplicarán las razones trigonométricas; si en el triángulo de la figura se elige el $\angle A$ , un cateto está opuesto a él y el otro cateto es adyacente, es decir, es uno de los lados que lo forman. Así, las razones trigonométricas para dicho ángulo se obtienen del siguiente modo:

$\text{seno } \angle A = \frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Hipotenusa}} = \frac{CO}{HIP}$

$\text{coseno } \angle A = \frac{\text{Cateto Adyacente}}{\text{Hipotenusa}} = \frac{CA}{HIP}$

$\text{tangente } \angle A = \frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Cateto Adyacente}} = \frac{CO}{CA}$

Por ejemplo, si en el siguiente triángulo rectángulo se hace referencia al ángulo del vértice $H$ , las razones trigonométricas que lo definen quedarían determinadas de la siguiente manera:

$\text{seno } \angle H = \frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Hipotenusa}} = \frac{8}{10}$

$\text{coseno } \angle H = \frac{\text{Cateto Adyacente}}{\text{Hipotenusa}} = \frac{6}{10}$

$\text{tangente } \angle H = \frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Cateto Adyacente}} = \frac{8}{6}$

Ejemplos resueltos

En el triángulo rectángulo $H\!F\!G$ con ángulo recto en $F$ , se conocen $HF = 6 \, \text{cm}$ , $FG = 8 \, \text{cm}$ y $HG = 10 \, \text{cm}$ . Calcula las razones trigonométricas para el ángulo $\angle H$ .

Identificar los lados respecto a $\angle H$ : cateto opuesto $FG = 8 \, \text{cm}$ , cateto adyacente $HF = 6 \, \text{cm}$ , hipotenusa $HG = 10 \, \text{cm}$ .
$\text{seno } \angle H = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ .
$\text{coseno } \angle H = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ .
$\text{tangente } \angle H = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ .

Tabla

Razón	Fórmula	Abreviatura
Seno	$\frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Hipotenusa}}$	$\frac{CO}{HIP}$
Coseno	$\frac{\text{Cateto Adyacente}}{\text{Hipotenusa}}$	$\frac{CA}{HIP}$
Tangente	$\frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Cateto Adyacente}}$	$\frac{CO}{CA}$

Diagrama

graph TD
    A[Triángulo rectángulo] --> B[Ángulo recto 90°]
    A --> C[Catetos]
    A --> D[Hipotenusa]
    C --> E[Cateto opuesto]
    C --> F[Cateto adyacente]
    D --> G[Lado mayor]
    E --> H[Seno = CO/HIP]
    F --> I[Coseno = CA/HIP]
    E --> J[Tangente = CO/CA]
    F --> J

Fórmulas y ecuaciones

$\text{seno }$ $\angle$ A = $\frac{CO}{HIP}$

$\text{coseno }$ $\angle$ A = $\frac{CA}{HIP}$

$\text{tangente }$ $\angle$ A = $\frac{CO}{CA}$

$\text{seno }$ $\angle$ A = $\frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Hipotenusa}}$ = $\frac{CO}{HIP}$

$\text{coseno }$ $\angle$ A = $\frac{\text{Cateto Adyacente}}{\text{Hipotenusa}}$ = $\frac{CA}{HIP}$

$\text{tangente }$ $\angle$ A = $\frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Cateto Adyacente}}$ = $\frac{CO}{CA}$

$\text{seno }$ $\angle$ H = $\frac{8}{10}$

$\text{coseno }$ $\angle$ H = $\frac{6}{10}$

$\text{tangente }$ $\angle$ H = $\frac{8}{6}$

Glosario (6)

Trigonometría: Rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos rectángulos.
Cateto: Cada uno de los dos lados que forman el ángulo recto en un triángulo rectángulo.
Hipotenusa: Lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo; es el lado de mayor longitud.
Seno: Razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
Coseno: Razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
Tangente: Razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

Temas y conceptos clave

TrigonometríaRazones trigonométricasTriángulo rectánguloSenoCosenoTangenteCateto opuestoCateto adyacenteHipotenusa

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📌 Antes de leer esto

• Concepto de ángulo y triángulo
• Identificación de catetos e hipotenusa
• Operaciones con fracciones

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Razones trigonométricas seno, coseno y tangente

La trigonometria es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos rectángulos a partir del criterio de semejanza de triángulos, y es muy útil para conocer las razones y las proporciones entre las medidas de los lados correspondientes en los triángulos rectángulos.

Las razones trigonometricas son los cocientes que surgen al realizar comparaciones entre dos lados de cualquier triángulo rectángulo. En un triángulo rectángulo, el ángulo de 90o está formado por los dos lados conocidos como catetos. El lado opuesto al ángulo de 90o se llama hipotenusa, el cual siempre es el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo. Así, los lados de un triángulo tienen una particularidad en relación con el ángulo al cual se aplicarán las razones trigonometricas; si en el triángulo de la figura se elige el $\angle A,$ ,un cateto está opuesto a él y el otro cateto es adyacente, es decir, es uno de los lados que lo forman. $\mathrm{Asi},$ las razones trigonométricas para dicho ángulo se obtienen del siguiente modo:

$\begin{array}{l}\frac{\Phi}{\Phi}\xrightarrow{A}\quad\text{s e n o}\angle A=\frac{\text{C a t e t o}\text{O p u s t o}}{\text{Hipotenusa}}=\frac{\text{CO}}{\text{HIP}}\\ \frac{\Phi}{\Phi}\xrightarrow{B}\quad\text{C o s e n o}\angle A=\frac{\text{C a t e t o}\text{Adyacente}}{\text{Hipotenusa}}=\frac{\text{CA}}{\text{HIP}}\\ \text{}\xrightarrow{\Phi}\frac{90^{\circ}}{\text{Cateto}\text{oputesto}}\quad\text{C}\end{array}$

Por ejemplo, si en el siguiente triángulo rectángulo se hace referencia al ángulo del vértice H, las razones trigonométricas que lo defi nen quedarian determinadas de la siguiente manera:

$\begin{aligned}&\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\bullet\quad\bullet\quad\bullet\quad\bullet\bullet\quad\bullet\quad\bullet\bullet\quad\bullet\quad\bullet\bullet\quad\bullet\quad\bullet\bullet\quad\bullet\bullet\quad\bullet\bullet\quad\bullet\bullet\quad\bullet\bullet\quad\bullet\bullet\quad\bullet\bullet\quad\bullet\bullet\quad\bullet\bullet\bullet\quad\bullet\bullet\quad\bullet\bullet\bullet\quad\bullet\bullet\bullet\bullet\quad\bullet\bullet\bullet\quad\bullet\bullet\bullet\bullet\quad\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\quad\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\quad\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet$

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