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Problemas de ecuaciones cuadráticas: números consecutivos y edades

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Problema 2: 17 y 18. Problema 3: Emmanuel tiene 12 años.

matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 108

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 2

El producto de dos números naturales consecutivos es 306. Hallar los números.

Identificar la incógnita: sea $x$ el primer número natural; su consecutivo es $x+1$ .
Plantear la ecuación: $x(x+1)=306$ .
Desarrollar el producto: $x^{2}+x=306$ .
Igualar a cero: $x^{2}+x-306=0$ .
Factorizar: buscamos dos números que multiplicados den $-306$ y sumados den $1$ : son $-17$ y $18$ . Entonces $(x-17)(x+18)=0$ .
Resolver cada factor: si $x-17=0$ , entonces $x_{1}=17$ ; si $x+18=0$ , entonces $x_{2}=-18$ .
Interpretar: como se piden números naturales (positivos), se descarta $-18$ . La solución válida es $x=17$ y su consecutivo $18$ .

Respuesta

los números son $17$ y $18$ , ya que $17 \times 18 = 306$ .

Ejercicio 3

Emmanuel es 3 años mayor que su hermano. La suma de los cuadrados de sus edades es igual a 225. Determinar la edad de Emmanuel.

Identificar la incógnita: sea $w$ la edad del hermano; la edad de Emmanuel es $w+3$ .
Plantear la ecuación: $w^{2}+(w+3)^{2}=225$ .
Desarrollar el binomio: $w^{2}+w^{2}+6w+9=225$ .
Reducir términos semejantes: $2w^{2}+6w+9=225$ .
Igualar a cero: $2w^{2}+6w-216=0$ .
Dividir entre $2$ : $w^{2}+3w-108=0$ .
Factorizar: dos números que multiplicados den $-108$ y sumados den $3$ : son $12$ y $-9$ . Entonces $(w+12)(w-9)=0$ .
Resolver: $w_{1}=-12$ (no válida por ser edad negativa) y $w_{2}=9$ .
Interpretar: el hermano tiene $9$ años y Emmanuel tiene $9+3=12$ años.

Respuesta

Emmanuel tiene $12$ años (su hermano tiene $9$ años).

Contenido de la página

Problema 2

El producto de dos números naturales consecutivos es 306. Hallar los números.

Los pasos de resolución se muestran a continuación:

Pasos	Consideraciones
1. Identificar la incógnita y asignarle una literal.	Se puede llamar $x$ al primer desconocido. El consecutivo de un número es mayor que él en una unidad. Entonces, para el número dado $x$ , su número consecutivo es una unidad más grande, es decir, $x+1$ . Algunos ejemplos de números consecutivos son 1 y 2, 5 y 6 o 15 y 16.
2. Plantear la ecuación.	Ahora, ya se puede expresar en lenguaje algebraico el problema planteado, es decir, la multiplicación de dos números consecutivos es igual a 306: $x(x+1)=306$
3. Resolver la ecuación.	Al multiplicar $x$ por $x+1$ en la ecuación se tiene: $x^{2}+x=306$ . Ahora se iguala con cero: $x^{2}+x-306=0$ . Al escribir la ecuación como producto de factores binomiales: $(x-17)(x+18)=0$ . Se igualan los dos factores a cero, y se resuelven: Si $x-17=0$ , entonces $x_{1}=17$ y $x+18=0$ , entonces $x_{2}=-18$ .
4. Interpretar la solución.	Se puede observar que hay dos soluciones, una negativa y otra positiva; ya que el problema pide números naturales, que son positivos, el número $-18$ no es una solución válida. Así, la solución válida es el número 17 y su consecutivo es 18. Entonces se concluye que el producto de 17 y 18 es igual a 306.

Problema 3

Emmanuel es 3 años mayor que su hermano. La suma de los cuadrados de sus edades es igual a 225. Determinar la edad de Emmanuel.

Los pasos de resolución se muestran a continuación:

Pasos	Consideraciones
1. Identificar la incógnita y asignarle una literal.	Se sabe que Emmanuel es 3 años mayor que su hermano, pero no se conoce la edad del hermano. Esta última edad se representa con la letra $w$ .
2. Plantear la ecuación.	Si la edad del hermano es $w$ y Emmanuel es 3 años mayor que su hermano, la edad de este último se expresa como $w+3$ . El cuadrado de la edad del hermano es $w^{2}$ . El cuadrado de la edad de Emmanuel es $(w+3)^{2}$ . El problema dice que la suma de los cuadrados de sus edades es igual a 225. Esa relación se expresa en la siguiente ecuación: $w^{2}+(w+3)^{2}=225$

Ejemplos resueltos

El producto de dos números naturales consecutivos es 306. Hallar los números.

Sea $x$ el primer número; su consecutivo es $x+1$ . Se plantea $x(x+1)=306$ , de donde $x^{2}+x-306=0$ . Al factorizar, $(x-17)(x+18)=0$ , por lo que $x_{1}=17$ y $x_{2}=-18$ . Como se piden números naturales, se descarta $-18$ . Los números son $17$ y $18$ .

Emmanuel es 3 años mayor que su hermano. La suma de los cuadrados de sus edades es igual a 225. Determinar la edad de Emmanuel.

Sea $w$ la edad del hermano; Emmanuel tiene $w+3$ . Se plantea $w^{2}+(w+3)^{2}=225$ , que se reduce a $2w^{2}+6w-216=0$ y luego a $w^{2}+3w-108=0$ . Al factorizar, $(w+12)(w-9)=0$ , con $w_{1}=-12$ (no válida) y $w_{2}=9$ . El hermano tiene $9$ años y Emmanuel tiene $12$ años.

Tablas (2)

Pasos	Consideraciones
1. Identificar la incógnita y asignarle una literal.	Se puede llamar $x$ al primer desconocido. El consecutivo de un número es mayor que él en una unidad. Entonces, para el número dado $x$ , su número consecutivo es una unidad más grande, es decir, $x+1$ . Algunos ejemplos de números consecutivos son 1 y 2, 5 y 6 o 15 y 16.
2. Plantear la ecuación.	Ahora, ya se puede expresar en lenguaje algebraico el problema planteado, es decir, la multiplicación de dos números consecutivos es igual a 306: $x(x+1)=306$
3. Resolver la ecuación.	Al multiplicar $x$ por $x+1$ en la ecuación se tiene: $x^{2}+x=306$ . Ahora se iguala con cero: $x^{2}+x-306=0$ . Al escribir la ecuación como producto de factores binomiales: $(x-17)(x+18)=0$ . Se igualan los dos factores a cero, y se resuelven: Si $x-17=0$ , entonces $x_{1}=17$ y $x+18=0$ , entonces $x_{2}=-18$ .
4. Interpretar la solución.	Se puede observar que hay dos soluciones, una negativa y otra positiva; ya que el problema pide números naturales, que son positivos, el número $-18$ no es una solución válida. Así, la solución válida es el número 17 y su consecutivo es 18. Entonces se concluye que el producto de 17 y 18 es igual a 306.

Pasos	Consideraciones
1. Identificar la incógnita y asignarle una literal.	Se sabe que Emmanuel es 3 años mayor que su hermano, pero no se conoce la edad del hermano. Esta última edad se representa con la letra $w$ .
2. Plantear la ecuación.	Si la edad del hermano es $w$ y Emmanuel es 3 años mayor que su hermano, la edad de este último se expresa como $w+3$ . El cuadrado de la edad del hermano es $w^{2}$ . El cuadrado de la edad de Emmanuel es $(w+3)^{2}$ . El problema dice que la suma de los cuadrados de sus edades es igual a 225. Esa relación se expresa en la siguiente ecuación: $w^{2}+(w+3)^{2}=225$

Fórmulas y ecuaciones

x(x+1)=306

$w^{2}+(w+3)^{2}=225$

x(x+1)=306

$x^{2}+x=306$

$x^{2}+x-306=0$

(x-17)(x+18)=0

$w^{2}+(w+3)^{2}=225$

Glosario (4)

Incógnita: Cantidad desconocida que se representa con una letra y se busca determinar.
Número consecutivo: Número que sigue a otro en una unidad; si el primero es x, el consecutivo es x+1.
Ecuación cuadrática: Igualdad algebraica de la forma ax²+bx+c=0, con a distinto de cero.
Factorización: Proceso de escribir una expresión como producto de factores más simples.

Temas y conceptos clave

Ecuaciones cuadráticasProblemas de números consecutivosProblemas de edadesIncógnitaEcuación cuadráticaFactorizaciónNúmeros naturalesInterpretación de soluciones

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¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática por factorización?

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¿Cómo plantear una ecuación con números consecutivos?

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¿Cómo se resuelven problemas de edades con ecuaciones cuadráticas?

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📌 Antes de leer esto

• Operaciones con números enteros
• Productos notables (binomio al cuadrado)
• Factorización de trinomios de la forma x²+bx+c
• Lenguaje algebraico

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Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas

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Problema 2

El producto de dos números naturales consecutivos es 306. Hallar los números.

Los pasos de resolución se muestran a continuación:

Problema 3

Emmanuel es 3 anos mayor que su hermano. La suma de los cuadrados de sus edades es igual a 225. Determinar la edad de Emmanuel.

Los pasos de resolución se muestran a continuación:

求

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Pasos	Consideraciones
1. ldentificar la incógnita y asignarle una literal.	Se puede llamar x al primer desconocido. El consecutivo de un número es mayor que él en una unidad. Entonces, para el número dado x, su número consecutivo es una unidad más grande, es decir, Algunos ejemplos de números consecutivos son 1 $x+1$ $y2,5y6015y16.$
2.Plantear la ecuación.	Ahora, ya se puede expresar en lenguaje algebraico el problema planteado, es decir, la multiplicación de dos números consecutivos es igual a 306: $x(x+1)=306$
3. Resolver la ecuación.	Al multiplicar x por en la ecuación se tiene: Ahora se iguala con cero: Al escribir la ecuación como producto de factores binomiales: Se igualan los dos factores a cero, y se resuelven: $(x-17)(x+18)=0$ $x^{2}+x=306$ $x^{2}+x-306=0$ $\mathrm{Si}x-17=0,\mathrm{entonces}x_{1}=17$ $y x+18=0,\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{s}x_{2}=-18$ $x\pm1$
4.Interpretar la solución.	Se puede observar que hay dos soluciones, una negativa y otra positiva; ya que el problema pide números naturales, que son positivos, el número —18 no es una solución válida. Así, la solución válida es el número 17 y su consecutivo es 18. Entonces se concluye que el producto de 17 y 18 es igual a 306.

Pasos	Consideraciones
1. ldentificar la incógnita y asignarle una literal.	Se sabe que Emmanuel es 3 anos mayor que su hermano, pero no se conoce la edad del hermano. Esta última edad se representa con la letra w.
2.Plantearla ecuación.	Si la edad del hermano es w y Emmanuel es 3 años mayor que su hermano, la edad de este último se expresa como El cuadrado de la edad del hermano es w². El cuadrado de la edad de Emmanuel es El problema dice que la suma de los cuadrados de sus edades es igual a 225. Esa relación se expresa en la siguiente ecuación: $w^{2}+(w+3)^{2}=225$ $(w+3)^{2}$ $w+3$