Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3 EGB

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Razones trigonométricas y triángulos rectángulos semejantes

📄 teoria matematica 🎓 bachillerato · 3° Secundaria México 🇲🇽 MX 🗣 Español

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Respuesta rápida

Las razones trigonométricas dependen solo del ángulo. Para $\angle G$ : $\operatorname{seno}=\frac{3}{5}$ , $\cos=\frac{4}{5}$ , $\tan=\frac{3}{4}$ .

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 8 min lectura

Solución — Página 112

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Análisis de la página

La página es teórica: no plantea ejercicios numerados. Se explica que, para un mismo ángulo, las razones trigonométricas son invariantes aunque cambien las medidas del triángulo, porque los triángulos rectángulos con ángulos iguales son semejantes.

Paso 1. Identificación de catetos según el ángulo

En el triángulo $\triangle HFG$ con ángulo recto en $F$ :

Respecto al $\angle G$ : el cateto opuesto es $HF = 6\,\text{cm}$ y el cateto adyacente es $FG = 8\,\text{cm}$ .
Respecto al $\angle H$ : los nombres se intercambian; el cateto opuesto es $FG = 8\,\text{cm}$ y el adyacente es $HF = 6\,\text{cm}$ .

Paso 2. Verificación de la semejanza

El triángulo $\triangle HFG$ tiene catetos $6\,\text{cm}$ y $8\,\text{cm}$ , hipotenusa $10\,\text{cm}$ . El triángulo $\triangle H'F'G'$ tiene catetos $3\,\text{cm}$ y $4\,\text{cm}$ , hipotenusa $5\,\text{cm}$ .

Comprobamos la proporcionalidad:

$\frac{6}{3} = \frac{8}{4} = \frac{10}{5} = 2$

Por lo tanto, $\triangle HFG \sim \triangle H'F'G'$ y sus ángulos correspondientes son iguales: $\angle G = \angle G'$ .

Paso 3. Cálculo de las razones trigonométricas para $\angle G$

$\operatorname{seno}\angle G = \frac{CO}{HIP} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 0.6$

$\cos\angle G = \frac{CA}{HIP} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} = 0.8$

$\tan\angle G = \frac{CO}{CA} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0.75$

Paso 4. Cálculo de las razones trigonométricas para $\angle G'$

$\operatorname{seno}\angle G' = \frac{3}{5} = 0.6$

$\cos\angle G' = \frac{4}{5} = 0.8$

$\tan\angle G' = \frac{3}{4} = 0.75$

Paso 5. Conclusión

Las razones coinciden:

$\operatorname{seno}\angle G = \operatorname{seno}\angle G' = \frac{3}{5}$

$\cos\angle G = \cos\angle G' = \frac{4}{5}$

$\tan\angle G = \tan\angle G' = \frac{3}{4}$

Esto evidencia que las razones trigonométricas dependen únicamente del ángulo, no del tamaño del triángulo.

Paso 6. Uso de la tabla de valores

La tabla presenta valores redondeados a milésimos para ángulos de $24^\circ$ a $37^\circ$ . Por ejemplo, para $35^\circ$ :

$\operatorname{seno}35^\circ \approx 0.574, \quad \cos35^\circ \approx 0.819, \quad \tan35^\circ \approx 0.700$

Se puede usar la tabla para resolver problemas sin calcular cada razón desde el triángulo, eligiendo el valor correspondiente al ángulo dado.

Respuesta orientativa: Las razones trigonométricas de un ángulo agudo son constantes en todos los triángulos rectángulos semejantes; por eso se pueden tabular y usar directamente.

Contenido de la página

En cambio, si se hace referencia al ángulo localizado en el vértice $G$ , los nombres de los catetos se intercambian: el lado $HF$ será el cateto opuesto al $\angle G$ y el lado $FG$ , el cateto adyacente al $\angle G$ .

Las razones trigonométricas relacionadas con un mismo ángulo no varían, aunque las medidas de los catetos e hipotenusa que forman al triángulo rectángulo sean diferentes. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen ángulos iguales y así, al calcular las razones trigonométricas de cualquiera de sus ángulos, se obtienen razones iguales, lo cual evidencia la existencia de una proporción, tal como se observa en los siguientes triángulos rectángulos:

![Triángulos rectángulos semejantes](page=0,bbox=[147, 492, 1137, 726])

$\operatorname{seno}\angle G = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = \operatorname{seno}\angle G'$

$\cos\angle G = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} = \cos\angle G'$

$\tan\angle G = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = \tan\angle G'$

Por consiguiente, el valor de las razones trigonométricas es el cociente de la razón entre dos lados del triángulo rectángulo, en relación con uno de los ángulos. Con ello se establecen las tablas de valores que muestran numéricamente la relación entre los catetos ( $CO \div CA$ ) para la tangente, y entre los catetos opuesto y adyacente con la hipotenusa para el seno ( $CO \div HIP$ ) y el coseno ( $CA \div HIP$ ), respectivamente, por lo que ya no es necesario realizar las operaciones en cada uno de los casos.

Las tablas de valores para el cálculo de las razones trigonométricas pueden utilizarse mediante dos procedimientos diferentes: la elección de uno u otro depende de lo que se solicite en el problema por resolver. Enseguida se muestra una tabla de valores redondeados a milésimos y se presentan dos procedimientos para usarla.

Ángulo	Seno	Coseno	Tangente
$24^\circ$	0.407	0.914	0.445
$25^\circ$	0.423	0.906	0.466
$26^\circ$	0.438	0.899	0.488
$35^\circ$	0.574	0.819	0.700
$36^\circ$	0.588	0.809	0.727
$37^\circ$	0.602	0.799	0.754

Ejemplos resueltos

Comprobar que las razones trigonométricas del $\angle G$ y del $\angle G'$ son iguales en los triángulos rectángulos semejantes mostrados.

Triángulo $HFG$ : catetos $6$ y $8$ , hipotenusa $10$ . Triángulo $H'F'G'$ : catetos $3$ y $4$ , hipotenusa $5$ .

$\operatorname{seno}\angle G = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ y $\operatorname{seno}\angle G' = \frac{3}{5}$ .

$\cos\angle G = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ y $\cos\angle G' = \frac{4}{5}$ .

$\tan\angle G = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ y $\tan\angle G' = \frac{3}{4}$ .

Las razones son iguales porque los triángulos son semejantes.

Tabla

Ángulo	Seno	Coseno	Tangente
$24^\circ$	0.407	0.914	0.445
$25^\circ$	0.423	0.906	0.466
$26^\circ$	0.438	0.899	0.488
$35^\circ$	0.574	0.819	0.700
$36^\circ$	0.588	0.809	0.727
$37^\circ$	0.602	0.799	0.754

Diagrama

graph TD
  A[Triángulo rectángulo] --> B[Ángulo agudo]
  B --> C[Cateto opuesto]
  B --> D[Cateto adyacente]
  A --> E[Hipotenusa]
  C --> F[Seno = CO/HIP]
  D --> G[Coseno = CA/HIP]
  C --> H[Tangente = CO/CA]
  D --> H

Fórmulas y ecuaciones

$\operatorname{seno}$ $\theta$ = $\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}$

$\cos\theta$ = $\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}$

$\tan\theta$ = $\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}$

$\operatorname{seno}@@MATH_0@@\angle$ G'

$\cos\angle$ G = $\frac{8}{10}$ = $\frac{4}{5}$ = $\cos\angle$ G'

$\tan\angle$ G = $\frac{6}{8}$ = $\frac{3}{4}$ = $\tan\angle$ G'

$\operatorname{seno}$ $\theta$ = $\frac{CO}{HIP}$

$\cos\theta$ = $\frac{CA}{HIP}$

$\tan\theta$ = $\frac{CO}{CA}$

Glosario (5)

Cateto opuesto: Lado del triángulo rectángulo que se encuentra frente al ángulo considerado.
Cateto adyacente: Lado del triángulo rectángulo que forma el ángulo considerado junto con la hipotenusa.
Hipotenusa: Lado de mayor longitud en un triángulo rectángulo, opuesto al ángulo recto.
Semejanza: Propiedad de dos figuras que tienen la misma forma pero posiblemente diferente tamaño.
Razón trigonométrica: Cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo respecto a uno de sus ángulos agudos.

Preguntas para practicar

¿Por qué las razones trigonométricas de un mismo ángulo no cambian aunque el triángulo sea más grande o más pequeño?

Porque los triángulos rectángulos que comparten el mismo ángulo agudo son semejantes. En figuras semejantes, los cocientes entre lados correspondientes se mantienen constantes. Por eso el seno, el coseno y la tangente dependen solo del ángulo y no del tamaño del triángulo.

¿Cómo se identifican el cateto opuesto y el cateto adyacente cuando se cambia el ángulo de referencia?

El cateto opuesto es el que queda frente al ángulo considerado y el adyacente es el que forma el ángulo junto con la hipotenusa. Al cambiar de ángulo, los papeles de los catetos se intercambian, como ocurre entre el $\angle G$ y el $\angle H$ en el triángulo $HFG$.

Temas y conceptos clave

Razones trigonométricasTriángulos rectángulos semejantesTabla de valores trigonométricosCateto opuestoCateto adyacenteHipotenusaSemejanzaProporciónSenoCosenoTangente

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Figuras de la página (1)

Dos triángulos rectángulos semejantes. El primero, $HFG$, tiene catetos $HF=6\,\text{cm}$, $FG=8\,\text{cm}$ e hipotenusa $HG=10\,\text{cm}$. El segundo, $H'F'G'$, tiene catetos $H'F'=3\,\text{cm}$, $F'G'=4\,\text{cm}$ e hipotenusa $H'G'=5\,\text{cm}$. Ambos comparten el ángulo agudo en $G$ y $G'$. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Por qué las razones trigonométricas no cambian si el triángulo es más grande?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se identifican el cateto opuesto y el adyacente según el ángulo?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se usa una tabla de valores trigonométricos?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Semejanza de triángulos
• Proporciones y razones
• Elementos de un triángulo rectángulo: catetos e hipotenusa
• Redondeo a milésimos

Siguiente tema sugerido

Uso de la tabla de valores trigonométricos para resolver problemas de triángulos rectángulos

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 2063 caracteres

En cambio, si se hace referencia al ángulo localizado en el vértice $G,$ los nombres de los catetos se intercambian: el lado HF será el cateto opuesto al $\angle Gy$ el lado $FG$ ,el cateto adyacente al $\angle G$

Las razones trigonométricas relacionadas con un mismo ángulo no varian,aunque las medidas de los catetos e hipotenusa que forman al triángulo rectángulo sean diferentes. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen ángulos iguales y así, al calcular las razones trigonométricas de cualquiera de sus ángulos, se obtienen razones iguales, lo cual evidencia la existencia de una proporción, tal como se observa en los siguientes triángulos rectángulos:

Por consiguiente, el valor de las razones trigonométricas es el cociente de la razón entre dos lados del triángulo rectángulo, en relación con uno de los ángulos. Con ello se establecen las tablas de valores que muestran numéricamente la relación entre los catetos $(CO\div CA)$ I para la tangente, y entre los catetos opuesto y adyacente con la hipotenusa para el seno $(CO\div HIP)$ yel coseno(CA $\div HIP)$ I, respectivamente, por lo que ya no es necesario realizar las operaciones en cada uno de los casos.

Las tablas de valores para el cálculo de las razones trigonométricas pueden utilizarse mediante dos procedimientos diferentes: la elección de uno u otro depende de lo que se solicite en el problema por resolver. Enseguida se muestra una tabla de valores redondeados a milesimos y se presentan dos procedimientos para usarla.

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