Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3 EGB

SEP/CONALITEG

55/339

Método de factorización para resolver ecuaciones cuadráticas

📄 teoria matematica 🎓 bachillerato · 3° Secundaria México 🇲🇽 MX 🗣 Español

Página 55

55 de 339

Anterior Página 55 / 339 Siguiente

Respuesta rápida

$x_{1}=\frac{3}{2}$ y $x_{2}=2$ . Ambos métodos (factorización y fórmula general) dan los mismos resultados.

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 55

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Secundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio resuelto (ejemplo de la página)

Resolver por factorización la ecuación cuadrática $4x^{2}-14x+12=0$ .

Se buscan dos números que multiplicados den $A\cdot C = 4\times 12 = 48$ y sumados den $B = -14$ . Los números son $-6$ y $-8$ .
Se reescribe el término lineal: $4x^{2}-6x-8x+12=0$ .
Se agrupa y factoriza por partes: $2x(2x-3)-4(2x-3)=0$ .
Se factoriza el binomio común: $(2x-3)(2x-4)=0$ .
Se iguala a cero el primer factor: $2x-3=0 \Rightarrow x_{1}=\frac{3}{2}$ .
Se iguala a cero el segundo factor: $2x-4=0 \Rightarrow x_{2}=\frac{4}{2}=2$ .

Respuesta: $x_{1}=\frac{3}{2}$ y $x_{2}=2$ .

Paso 1

Analizar la estructura de la ecuación $Ax^{2}+Bx+C=0$ e identificar si $A=1$ o $A\ne 1$ .

Respuesta orientativa: Si $A=1$ se buscan dos números que multiplicados den $C$ y sumados den $B$ . Si $A\ne 1$ se buscan dos números que multiplicados den $A\cdot C$ y sumados den $B$ ; luego se reescribe el término lineal y se factoriza por agrupación.

Paso 2

Escribir la ecuación en forma polinómica e identificar los valores de $A$ , $B$ y $C$ .

Respuesta orientativa: En $4x^{2}-14x+12=0$ se tiene $A=4$ , $B=-14$ y $C=12$ . Esto permite decidir el método: factorización si los números existen, o fórmula general si no es factorizable con enteros.

Paso 3

Verificar que los resultados obtenidos por factorización coincidan con los de la fórmula general.

Respuesta orientativa: Aplicando $x=\frac{-B\pm\sqrt{B^{2}-4AC}}{2A}$ con $A=4$ , $B=-14$ , $C=12$ : $x=\frac{14\pm\sqrt{196-192}}{8}=\frac{14\pm 2}{8}$ , de donde $x_{1}=\frac{16}{8}=2$ y $x_{2}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$ . Coinciden con los valores factorizados.

Contenido de la página

Para encontrar el segundo término de cada factor, se buscan dos números que multiplicados den $+12$ y sumados den $-7$ . Se resalta que el primer valor es el resultado de $A\cdot C$ y el segundo es el valor de $B$ .

Considerando los signos, los números buscados son $-3$ y $-4$ y la factorización obtenida es la siguiente:

$(2x-3)(2x-4)=0$

Igualando a cero el primer factor se tiene:

$2x-3=0$

Despejando se obtiene:

$x_{1}=\frac{3}{2}$

Igualando a cero el segundo factor se tiene:

$2x-4=0$

Despejando se obtiene:

$x_{2}=\frac{4}{2}=2$

Estos resultados son los mismos que se obtuvieron en el apartado anterior usando la fórmula general.

Para dar solución a una ecuación cuadrática por el método de factorización, primero se debe analizar su estructura, como se desarrolló en los ejemplos presentados, al identificar si $A=1$ o $A\ne 1$ . Es importante recordar que el análisis de la estructura de la ecuación cuadrática aporta información para reconocer si se puede o no factorizar.

Se presentaron dos formas para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma $Ax^{2}+Bx+C=0$ , tanto cuando $A=1$ como cuando $A\ne 1$ . Es conveniente primero escribir la ecuación en su forma polinómica o, al menos, identificar los valores correspondientes a las literales A, B y C. Este procedimiento dará elementos ya sea para utilizar el método de la fórmula general o el de factorización.

El método de la fórmula general es útil para resolver cualquier ecuación cuadrática, aunque, en algunos casos, la factorización puede ser más sencilla. Los resultados que se obtienen por el método de factorización o por la fórmula general siempre deben coincidir.

Ejemplos resueltos

Resolver por factorización la ecuación $4x^{2}-14x+12=0$ .

Se buscan dos números que multiplicados den $A\cdot C=48$ y sumados den $B=-14$ : son $-6$ y $-8$ . Se reescribe: $4x^{2}-6x-8x+12=0$ . Se agrupa: $2x(2x-3)-4(2x-3)=0$ . Se factoriza: $(2x-3)(2x-4)=0$ . Igualando cada factor a cero: $x_{1}=\frac{3}{2}$ y $x_{2}=2$ .

Tabla

Método	Cuándo usarlo	Ventaja
Factorización	Cuando el trinomio es factorizable con enteros	Rápido y visual
Fórmula general	Siempre, especialmente si no es factorizable	Universal

Diagrama

flowchart TD
    A[Ecuación cuadrática Ax²+Bx+C=0] --> B{¿A = 1?}
    B -->|Sí| C[Buscar dos números que multiplicados den C y sumados den B]
    B -->|No| D[Buscar dos números que multiplicados den A·C y sumados den B]
    C --> E[Factorizar y aplicar propiedad del producto cero]
    D --> E
    E --> F[Obtener raíces x₁ y x₂]
    F --> G[Verificar con fórmula general]

Fórmulas y ecuaciones

$Ax^{2}+Bx+C=0$

x= $\frac{-B\pm\sqrt{B^{2}-4AC}}{2A}$

(2x-3)(2x-4)=0

2x-3=0

$x_{1}=$ $\frac{3}{2}$

2x-4=0

$x_{2}=$ $\frac{4}{2}$ =2

$Ax^{2}+Bx+C=0$

Glosario (4)

Ecuación cuadrática: Ecuación polinómica de segundo grado de la forma Ax² + Bx + C = 0, con A ≠ 0.
Factorización: Proceso de expresar un polinomio como producto de factores más simples.
Fórmula general: Expresión x = (−B ± √(B²−4AC)) / 2A que permite resolver cualquier ecuación cuadrática.
Raíz o solución: Valor de x que hace verdadera la igualdad de la ecuación.

Preguntas para practicar

¿Por qué es importante analizar la estructura de la ecuación cuadrática antes de elegir el método de solución?

Porque identificar si A = 1 o A ≠ 1 permite decidir si la factorización es viable con números enteros o si conviene usar directamente la fórmula general. Este análisis ahorra tiempo y evita intentos fallidos de factorización.

¿Qué ventajas tiene la factorización frente a la fórmula general?

La factorización suele ser más rápida y sencilla cuando los coeficientes son enteros y el trinomio es factorizable. Además, permite visualizar directamente las raíces y su relación con los factores. Sin embargo, no siempre es aplicable, por lo que la fórmula general es el método universal.

Temas y conceptos clave

Ecuaciones cuadráticasMétodo de factorizaciónComparación con la fórmula generalForma polinómica Ax² + Bx + C = 0Coeficientes A, B y CFactorización por agrupaciónRaíces o soluciones de la ecuación

¿Te fue útil esta página?

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática por factorización cuando A no es 1?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuándo conviene usar factorización en lugar de la fórmula general?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué los resultados de factorización y fórmula general deben coincidir?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Productos notables y factorización básica
• Ecuaciones lineales de primer grado
• Operaciones con números enteros

Siguiente tema sugerido

Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas en problemas contextualizados

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1659 caracteres

Para encontrar el segundo término de cada factor, se buscan dos números que multiplicados den $+12y$ sumados $^{-7}$ . Se resalta que el primer valor es el resultado de $ACy$ 'el segundo es el valor de B.

Considerando los signos, los números buscados son $-3y-4y$ lafactorización obtenida es la siguiente:

$(2x-3)(2x-4)=0$

Igualando a cero el primer factor se tiene:

$2x-3=0$

Despejando se obtiene:

$x_{1}=\frac{3}{2}$

Igualando a cero el segundo factor se tiene:

$2x-4=0$

Despejando se obtiene:

$x_{2}=\frac{4}{2}=2$

Estos resultados son los mismos que se obtuvieron en el apartado anterior usando la fórmula general.

Para dar solución a una ecuación cuadrática por el método de factorización,primero se debe analizar su estructura, como se desarrolló en los ejemplos presentados, al identificar si $A=1o A\neq1$ . Es importante recordar que el análisis de la estructura de la ecuación cuadrática aporta información para reconocer si se puede o no factorizar.

福

Se presentaron dos formas para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma $Ax^{2}+Bx+C=0$ tanto cuando $A=1$ como cuando $A\ne1$ . Es conveniente primero escribir la ecuación en su forma polinómica o, al menos, identificar los valores correspondientes a las literales A, B y C. Este procedimiento dará elementos ya sea para utilizar el método de la fórmula general o el de factorización.

El método de la fórmula general es útil para resolver cualquier ecuación cuadrática,aunque, en algunos casos, la factorización puede ser más sencilla. Los resultados que se obtienen por el método de factorización o por la fórmula general siempre deben coincidir.

Páginas cercanas