Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3

SEP/CONALITEG

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Área lateral, área total y volumen de pirámides y cilindros

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Respuesta rápida

Pirámide: $A_T=b^2+2b\,a_p$ , $V=\frac{A_B h}{3}$ . Cilindro: $A_L=2\pi r h$ , $A_T=2\pi r^2+2\pi r h$ .

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Solución — Página 101

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Contenido teórico de la página

La página desarrolla las fórmulas de la pirámide (base cuadrada) y del cilindro.

Ejercicio 1

Pirámide de base cuadrada

Como las caras laterales son triángulos, se aplica la fórmula del área del triángulo a cada cara lateral:

$A_{CL}=\frac{b\,a_p}{2}$

Donde $b$ es el lado de la base y $a_p$ es la altura de la cara lateral, llamada apotema de la pirámide.

Como la base es un cuadrado de lado $b$ :

$A_B=b^2$

$A_L$ es la suma de las áreas de las caras laterales (en una pirámide cuadrada hay 4 caras iguales, por lo que $A_L=4\cdot\frac{b\,a_p}{2}=2b\,a_p$ ). El área total de la pirámide es:

$A_T=A_B+A_L$

El volumen de una pirámide ( $V$ ) se obtiene multiplicando el área de su base ( $A_B$ ) por la altura de la pirámide ( $h$ ) y dividiendo el producto entre tres:

$V=\frac{A_B\,h}{3}$

Ejercicio 2

Cilindro

El cilindro es un cuerpo geométrico compuesto por dos bases circulares iguales y paralelas, y una superficie curva lateral que se extiende entre ellas. La altura del cilindro es la distancia entre las dos bases; el radio es la distancia desde el centro de la base a cualquier punto de la circunferencia.

La superficie lateral de un cilindro puede desplegarse para formar un rectángulo cuya base es la circunferencia de la base del cilindro, y cuya altura es la misma del cilindro. Por lo tanto:

$A_L=\text{circunferencia de la base}\times\text{altura del cilindro}$

$A_L=2\pi r h$

Así, el área total es igual a la suma de las áreas de las dos bases y el área lateral:

$A_T=2\pi r^{2}+2\pi r h$

Ejercicio 3

Análisis del diagrama

El diagrama de la pirámide rotula: vértice o cúspide, arista de la pirámide, apotema de la pirámide ( $a_p$ ), altura de la pirámide ( $h$ ), cara lateral, base cuadrada de lado $b$ , apotema de la base ( $\frac{b}{2}$ ) y arista de la base (o de la cara lateral).

Contenido de la página

Pirámide de base cuadrada

Como las caras laterales son triángulos, se aplica la fórmula:

$A_{CL}=\frac{b\,a_p}{2}$

Donde $a_p$ es la altura de la cara lateral o apotema de la pirámide.

Ya que, en este caso, la base es un cuadrado, se usa la fórmula:

$A_B=b^2$

$A_L$ es la suma de las áreas de las caras laterales, por lo tanto, el área total de la pirámide es:

$A_T=A_B+A_L$

El volumen de una pirámide ( $V$ ) se obtiene al multiplicar el área de su base ( $A_B$ ) por la altura de la pirámide ( $h$ ) y dividir el producto entre tres:

$V=\frac{A_B h}{3}$

Cilindro

El cilindro es un cuerpo geométrico que se compone de dos bases circulares iguales y paralelas, y una superficie curva lateral que se extiende entre ellas. La altura del cilindro es la distancia entre las dos bases; el radio es la distancia desde el centro de la base a cualquier punto de la circunferencia.

La superficie lateral de un cilindro puede desplegarse para formar un rectángulo cuya base es la circunferencia de la base del cilindro, y la altura es la misma del cilindro. Por lo tanto:

$A_L=\text{circunferencia de la base}\times\text{altura del cilindro}$ $A_L=2\pi r h$

Así, el área total es igual a la suma de las dos áreas de las bases y el área lateral:

$A_T=2\pi r^{2}+2\pi r h$

Ejemplos resueltos

Calcular el área lateral y el área total de una pirámide cuadrada de lado $b=6\text{ cm}$ y apotema $a_p=5\text{ cm}$ .

Área lateral de una cara: $A_{CL}=\frac{6\times 5}{2}=15\text{ cm}^2$ .
Cuatro caras: $A_L=4\times 15=60\text{ cm}^2$ .
Base: $A_B=6^2=36\text{ cm}^2$ .
Área total: $A_T=36+60=96\text{ cm}^2$ .

Calcular el área total de un cilindro de radio $r=3\text{ cm}$ y altura $h=7\text{ cm}$ (tomar $\pi\approx 3.14$ ).

Área lateral: $A_L=2\pi r h=2\pi(3)(7)=42\pi\approx 131.88\text{ cm}^2$ .
Áreas de las bases: $2\pi r^2=2\pi(3^2)=18\pi\approx 56.52\text{ cm}^2$ .
Área total: $A_T=42\pi+18\pi=60\pi\approx 188.4\text{ cm}^2$ .

Tabla

Sólido	Área lateral	Área total	Volumen
Pirámide cuadrada	$A_L=2b\,a_p$	$A_T=b^2+2b\,a_p$	$V=\dfrac{b^2 h}{3}$
Cilindro	$A_L=2\pi r h$	$A_T=2\pi r^2+2\pi r h$	$V=\pi r^2 h$

Fórmulas y ecuaciones

V = $\frac{A_B h}{3}$

$A_T(pirámide)$ = $b^2$ + $2b\,a_p$

$A_T(cilindro)$ = $2\pi$ $r^2$ + $2\pi$ r h

$A_{CL}=$ $\frac{b\,a_p}{2}$

$A_B=b^2$

$A_T=A_B+A_L$

V= $\frac{A_B h}{3}$

$A_L=2\pi$ r h

$A_T=2\pi$ $r^{2}+2\pi$ r h

Glosario (4)

Apotema de la pirámide: Altura de cada cara lateral triangular de la pirámide, medida desde el vértice hasta el lado de la base.
Cúspide o vértice: Punto superior de la pirámide donde se encuentran todas las caras laterales.
Cilindro: Cuerpo geométrico con dos bases circulares iguales y paralelas unidas por una superficie curva lateral.
Despliegue de la superficie lateral: Figura plana resultante al abrir la superficie curva lateral; en el cilindro forma un rectángulo.

Preguntas para practicar

¿Por qué el volumen de una pirámide se divide entre tres?

Porque un prisma con la misma base y la misma altura contiene exactamente tres pirámides de esas dimensiones; por eso su volumen es un tercio del del prisma, es decir, $V=\frac{A_B h}{3}$.

¿Qué figura se obtiene al desplegar la superficie lateral de un cilindro y por qué?

Se obtiene un rectángulo: su base es igual a la circunferencia de la base circular, $2\pi r$, y su altura es la del cilindro, $h$, de modo que su área es $A_L=2\pi r h$.

¿Qué diferencia hay entre el apotema de la pirámide y el apotema de la base?

El apotema de la pirámide es la altura de la cara lateral triangular (va del vértice al lado de la base); el apotema de la base cuadrada es la mitad del lado, $\frac{b}{2}$, y va del centro al punto medio de un lado.

Temas y conceptos clave

Área lateral de la pirámideÁrea total de la pirámideVolumen de la pirámideSuperficie lateral del cilindroÁrea total del cilindroapotema de la pirámidealtura de la pirámidecara lateralcúspidedespliegue de la superficie lateralcircunferencia de la base

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Figuras de la página (1)

Diagrama de una pirámide de base cuadrada con etiquetas: vértice o cúspide, arista de la pirámide, apotema de la pirámide ($a_p$), altura de la pirámide ($h$), cara lateral, base cuadrada de lado $b$, apotema de la base ($b/2$) y arista de la base; a la derecha, la pirámide vista de lado. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula el volumen de una pirámide?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuál es la fórmula del área total de un cilindro?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué es el apotema de una pirámide?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Fórmula del área del triángulo y del cuadrado
• Circunferencia: $C=2\pi r$
• Concepto de potencia y raíz
• Unidades de área y volumen

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Ejercicios aplicados de cálculo de área total y volumen de pirámides y cilindros

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1365 caracteres

Como las caras laterales son triángulos, se aplica la fórmula:

$A_{CL}=\frac{ba_p}{2}$

Donde $a_{p}$ es la altura de la cara lateral o apotema de la pirámide.

Ya que, en este caso, la base es un cuadrado, se usa la fórmula:

$A_{R}=b^{2}$

$A_{L}$ es la suma de las áreas de las caras laterales por lo tanto, el área total de la pirámide es:

$A_{T}=A_{R}+A_{L}$

El volumen de una pirámide $(V)$ seobtieneal muliplicar eleade su base $(A_{B})$ pr la altura de la pirámide $(b)y$ dividir el producto entre tres:

$V=\frac{A_{B}h}{3}$

El cilindro es un cuerpo geométrico que se compone de dos bases circulares iguales y paralelas, y una superfi cie curva lateral que se extiende entre ellas. La altura del cilindro, es la distancia entre las dos bases, el radio es la distancia desde el centro de la base a cualquier punto de la circunferencia.

La superficie lateral de un cilindro puede desplegarse para formar un rectángulo cuya base es la circunferencia de la base del cilindro, y la altura es la misma del cilindro. Por lo tanto:

$\begin{aligned}&A_{L}=\mathrm{circ}\mathrm{unferenceia}de la base\times\mathrm{altra}del\mathrm{cilindro}\\&A_{L}=2\pi rb\\ \end{aligned}$

Así, el área total es igual a la suma de las dos áreas de las bases y el área lateral:

$A_{T}=2\pi r^{2}+2\pi rb$

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