Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3

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Volumen del cilindro y área/volumen del cono

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Respuesta rápida

$V_cilindro$ = πr²h; g = √(r²+h²); $A_L$ = πrg; $A_T$ = πr²+πrg; $V_cono$ = πr²h/3.

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 102

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

Teoría — Fórmulas del cilindro y del cono

Ejercicio 1

Volumen del cilindro

El volumen del cilindro es el producto del área de la base por la altura:

$V = A_B \cdot h$

Donde la base es un círculo, $A_B = \pi r^{2}$ , por lo tanto:

$V = \pi r^{2} h$

Ejemplo: cilindro con $r = 3 \, \text{cm}$ y $h = 10 \, \text{cm}$ :

Área de la base: $A_B = \pi (3)^{2} = 9\pi \, \text{cm}^{2}$
Volumen: $V = 9\pi \times 10 = 90\pi \approx 282{,}74 \, \text{cm}^{3}$

Ejercicio 2

El cono

El cono se forma a partir de una base circular y una superficie lateral curva que se reduce de manera constante hasta llegar a un vértice.

Generatriz (g): línea recta que une el vértice con un punto de la circunferencia de la base. Se calcula por el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo formado por $r$ , $h$ y $g$ :

$g = \sqrt{r^{2} + h^{2}}$

Ejemplo: $r = 4 \, \text{cm}$ , $h = 3 \, \text{cm}$ :

$g = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \, \text{cm}$

Ejercicio 3

Área lateral del cono

Es la mitad del producto de la circunferencia de la base por la generatriz:

$A_L = \frac{2\pi r g}{2} = \pi r g$

Con $r = 4 \, \text{cm}$ y $g = 5 \, \text{cm}$ :

$A_L = \pi \times 4 \times 5 = 20\pi \approx 62{,}83 \, \text{cm}^{2}$

Ejercicio 4

Área total del cono

$A_T = A_B + A_L = \pi r^{2} + \pi r g$

Con los mismos datos:

$A_B = \pi (4)^{2} = 16\pi \, \text{cm}^{2}$
$A_T = 16\pi + 20\pi = 36\pi \approx 113{,}10 \, \text{cm}^{2}$

Ejercicio 5

Volumen del cono

Se multiplica el área de la base por la altura y se divide entre tres:

$V = \frac{A_B h}{3} = \frac{\pi r^{2} h}{3}$

Con $r = 4 \, \text{cm}$ y $h = 3 \, \text{cm}$ :

$A_B = 16\pi \, \text{cm}^{2}$
$V = \frac{16\pi \times 3}{3} = 16\pi \approx 50{,}27 \, \text{cm}^{3}$

Nota: el volumen del cono es exactamente un tercio del volumen del cilindro de igual base y altura ( $V_{\text{cono}} = \tfrac{1}{3} V_{\text{cilindro}}$ ).

Utilidad de las fórmulas

La representación algebraica de áreas y volúmenes permite cálculos precisos y rápidos sin medir físicamente la figura, lo cual es útil en el diseño de estructuras, la planificación de proyectos de ingeniería y la construcción. Las fórmulas permiten conocer la relación entre las dimensiones de un objeto para obtener una medida de interés.

Respuesta

fórmulas clave: $V_{\text{cilindro}} = \pi r^{2}h$ , $g = \sqrt{r^{2}+h^{2}}$ , $A_L = \pi r g$ , $A_T = \pi r^{2}+\pi r g$ , $V_{\text{cono}} = \tfrac{\pi r^{2}h}{3}$ .

Contenido de la página

Volumen del cilindro y del cono

El volumen del cilindro es el producto del área de la base por la altura del cilindro ( $h$ ):

$V = A_B h$

El cono es un cuerpo geométrico que se forma a partir de una base circular y una superficie lateral curva, la cual se reduce de manera constante, hasta llegar a un vértice.

La generatriz ( $g$ ) es una línea recta que une el vértice de un cono con un punto en la circunferencia de su base; su longitud depende del radio y la altura del cono y se calcula con la fórmula:

$g = \sqrt{r^{2} + h^{2}}$

El área lateral del cono se calcula como la mitad del producto de la circunferencia de la base por la generatriz:

$A_L = \frac{2\pi r g}{2} = \pi r g$

Por lo tanto:

$A_T = A_B + A_L = \pi r^{2} + \pi r g$

El volumen del cono ( $V$ ) resulta de multiplicar el área de su base ( $A_B$ ) por la altura del cono ( $h$ ), luego se divide el producto entre tres:

$V = \frac{A_B h}{3}$

La representación algebraica de áreas y volúmenes de cuerpos geométricos por medio de fórmulas permite realizar cálculos precisos y rápidos, sin necesidad de medir físicamente las dimensiones de cada figura. Esto es especialmente útil, por ejemplo, en el diseño de estructuras, planificación de proyectos de ingeniería y construcciones diversas. Las fórmulas permiten conocer la relación entre las dimensiones de un objeto para obtener una medida de interés.

Ejemplos resueltos

Calcular g, $A_L$ , $A_T$ y V de un cono con r = 4 cm y h = 3 cm.

g = √(4²+3²) = √25 = 5 cm. 2. $A_L$ = π·4·5 = 20π ≈ 62,83 cm². 3. $A_B$ = π·4² = 16π cm². 4. $A_T$ = 16π+20π = 36π ≈ 113,10 cm². 5. V = (16π·3)/3 = 16π ≈ 50,27 cm³.

Calcular el volumen de un cilindro con r = 3 cm y h = 10 cm.

$A_B$ = π·3² = 9π cm². 2. V = 9π·10 = 90π ≈ 282,74 cm³.

Tabla

Cuerpo	Área base	Otra medida	Volumen
Cilindro	$A_B=\pi r^{2}$	altura $h$	$V=A_B h=\pi r^{2}h$
Cono	$A_B=\pi r^{2}$	generatriz $g=\sqrt{r^{2}+h^{2}}$	$V=\dfrac{A_B h}{3}=\dfrac{\pi r^{2}h}{3}$

Fórmulas y ecuaciones

V = $A_B$ h (cilindro)

g = √(r²+h²)

$A_L$ = π r g

$A_T$ = πr² + πrg

V = $A_B$ h / 3 (cono)

$V_{$ $\text{cilindro}$ } = $A_B$ h

$A_B$ = $\pi$ $r^{2}$

g = $\sqrt{r^{2} + h^{2}}$

$A_L$ = $\frac{2\pi r g}{2}$ = $\pi$ r g

$A_T$ = $\pi$ $r^{2}$ + $\pi$ r g

$V_{$ $\text{cono}$ } = $\frac{A_B h}{3}$

Glosario (4)

Generatriz: Línea recta que une el vértice de un cono con un punto de la circunferencia de su base; se calcula como g = √(r² + h²).
Área lateral: Superficie curva del cono sin incluir la base; A_L = π r g.
Área total: Suma del área de la base y el área lateral: A_T = A_B + A_L.
Volumen: Espacio ocupado por un cuerpo; para el cilindro V = A_B·h y para el cono V = A_B·h/3.

Preguntas para practicar

¿Por qué la representación algebraica de áreas y volúmenes es útil en ingeniería y construcción?

Porque permite calcular de forma precisa y rápida medidas de interés sin tener que medir físicamente la figura; así se pueden dimensionar estructuras y planificar proyectos verificando relaciones entre radio, altura, área y volumen antes de construir.

Temas y conceptos clave

Volumen del cilindroGeneratriz del conoÁrea lateral y área total del conoVolumen del conoUso de fórmulas algebraicas en geometríaA_B = πr²V = A_B·h (cilindro)g = √(r²+h²)A_L = πrgA_T = πr²+πrgV = A_B·h/3 (cono)

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula el volumen de un cilindro?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué es la generatriz de un cono y cómo se obtiene?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué el volumen del cono es un tercio del cilindro con la misma base y altura?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Área del círculo A = πr²
• Teorema de Pitágoras
• Concepto de altura y radio en cuerpos de revolución

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Ejercicios aplicados de cálculo de áreas y volúmenes de cilindros y conos

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1441 caracteres

El volumen del cilindro es el producto del área de la base por la altura del cilindro (b):

$V=A_{R}b$

El cono es un cuerpo geométrico que se forma a partir de una base circular y una superficie lateral curva, la cual se reduce de manera constante, hasta llegar a un vértice.

La generatriz (g) es una línea recta que une el vértice de un cono con un punto en la circunferencia de su base; su longitud depende del radio y la altura del cono y se calcula con la fórmula:

$A_{B}=\pi r^{2}$

$g=\sqrt{r^{2}+b^{2}}$

El área lateral del cono se calcula como la mitad del producto de la circunferencia de la base por la generatriz, es decir:

$A_{L}=\frac{2\pi r g}{2}$

Por lo tanto:

$\begin{aligned}&A_{T}=A_{B}+A_{L}\\ &A_{T}=\pi r^{2}+\pi rg\\ \end{aligned}$

$A_{B}=\pi r^{2}$

El volumen del cono (V) resulta de multiplicar el área de su base $(A_{B})$ por la altura del cono (h), luego se divide el producto entre tres:

$V=\frac{A_{B}h}{3}$

La representación algebraica de áreas y volúmenes de cuerpos geométricos por medio de fórmulas permite realizar cálculos precisos y rápidos, sin necesidad de medir fisicamente las dimensiones de cada fgura. Esto es especialmente útil, por ejemplo,en el diseño de estructuras, planificación de proyectos de ingenieria y construcciones diversas. Las fórmulas permiten conocer la relación entre las dimensiones de un objeto para obtener una medida de interés.

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101蓝

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