Libro de Saberes y Pensamiento Cientifico 3

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Cálculo de variables en función de otras: prisma rectangular y pirámide cuadrangular

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Respuesta rápida

Profundidad del estanque: h = 3 m. 2) Lado de la base de la pirámide: l = 3 cm. 3) Altura de la pirámide: h = 2 cm. 4) Área total (material): $A_T$ = 24 cm².

matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 104

Colección Nanahuatzin. Saberes y pensamiento científico. Libro de Educación Telesecundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026

Ejercicio 1

(continuación de la página anterior)

Calcular la profundidad del estanque (altura del prisma rectangular) conociendo $V = 900 \, \text{m}^{3}$ y $A_{B} = 300 \, \text{m}^{2}$ .

Fórmula del volumen del prisma: $V = A_{B} \cdot h$ .
Sustituir los valores conocidos: $900 = 300 \cdot h$ .
Despejar $h$ : $h = \frac{900}{300}$ .
Dividir: $h = 3$ .

Respuesta

la profundidad del estanque es $3 \, \text{m}$ .

Ejercicio 2

Un estudiante de arquitectura quiere hacer la maqueta de una pirámide cuadrangular con $V = 6 \, \text{cm}^{3}$ , área de la base $A_{B} = 9 \, \text{cm}^{2}$ y altura lateral (apotema) de $2.5 \, \text{cm}$ . Calcular el lado de la base $l$ .

La base es cuadrada, por lo tanto su área es $A_{B} = l^{2}$ .
Sustituir: $9 = l^{2}$ .
Extraer raíz cuadrada: $l = \sqrt{9}$ .
Calcular: $l = 3$ .

Respuesta

el lado de la base mide $l = 3 \, \text{cm}$ .

Ejercicio 3

Calcular la altura $h$ de la pirámide con $V = 6 \, \text{cm}^{3}$ y $A_{B} = 9 \, \text{cm}^{2}$ .

Fórmula del volumen de la pirámide: $V = \frac{A_{B} \cdot h}{3}$ .
Sustituir los valores: $6 = \frac{9 \cdot h}{3}$ .
Multiplicar ambos lados por 3: $6 \times 3 = 9h$ , es decir, $18 = 9h$ .
Despejar $h$ : $h = \frac{18}{9}$ .
Dividir: $h = 2$ .

Respuesta

la altura de la pirámide es $h = 2 \, \text{cm}$ .

Ejercicio 4

Calcular el área total de la pirámide $A_{T}$ (para saber la cantidad de material de la maqueta), con $l = 3 \, \text{cm}$ , $A_{B} = 9 \, \text{cm}^{2}$ y apotema $a = 2.5 \, \text{cm}$ .

Fórmula: $A_{T} = A_{B} + \frac{P \cdot a}{2}$ , donde $P$ es el perímetro de la base.
Calcular el perímetro de la base cuadrada: $P = 4l = 4 \times 3 = 12 \, \text{cm}$ .
Sustituir en la fórmula: $A_{T} = 9 + \frac{12 \times 2.5}{2}$ .
Calcular el lateral: $\frac{12 \times 2.5}{2} = \frac{30}{2} = 15 \, \text{cm}^{2}$ .
Sumar: $A_{T} = 9 + 15 = 24$ .

Respuesta

el área total de la pirámide es $A_{T} = 24 \, \text{cm}^{2}$ , por lo que se requiere esa cantidad de material.

Contenido de la página

Cálculo de la profundidad del estanque

Para calcular la profundidad del estanque, se sustituyen los valores conocidos en la fórmula de volumen, luego se despeja y se determina el valor de la altura:

$V = A_{B} h$

$900 = 300h$

$\frac{900}{300} = h$

$h = 3$

Por lo tanto, la altura del prisma rectangular o la profundidad del estanque debe ser de 3 m.

Otro ejemplo: la pirámide cuadrangular

Un estudiante de arquitectura desea hacer la maqueta de una pirámide cuadrangular con un volumen de $6 \, \text{cm}^{3}$ . El área de la base es de $9 \, \text{cm}^{2}$ y la altura lateral (apotema de la pirámide) es de 2.5 cm.

Para iniciar la construcción de la maqueta, se requiere calcular cuánto mide un lado de la base ( $l$ ), la altura de la pirámide ( $h$ ) y, para saber la cantidad de material que se utilizará, es necesario calcular el área total de la pirámide ( $A_{T}$ ).

Si la base es cuadrangular y su área es igual a $9 \, \text{cm}^{2}$ , entonces $l = 3 \, \text{cm}$ .

Si $V = 6 \, \text{cm}^{3}$ y $A_{B} = 9 \, \text{cm}^{2}$ , entonces al sustituir estos valores en la fórmula del volumen de la pirámide y despejar la altura se tiene:

$V = \frac{A_{B}h}{3}$

$6 = \frac{9h}{3}$

$6(3) = 9h$

$18 = 9h$

$\frac{18}{9} = h$

$h = 2$

Por tanto, la altura de la pirámide debe ser de 2 cm.

Datos de la figura

Volumen $V = 6 \, \text{cm}^{3}$
Área de la base $= 9 \, \text{cm}^{2}$
Altura de la pirámide ( $h$ )
Apotema de la pirámide o altura lateral $= 2.5 \, \text{cm}$
Lado de la base ( $l$ )

Ejemplos resueltos

Calcular la profundidad de un estanque con V = 900 m³ y $A_B$ = 300 m².

V = $A_B\cdoth$ → 900 = 300·h. 2. h = 900/300. 3. h = 3 m.

Pirámide cuadrangular con V = 6 cm³, $A_B$ = 9 cm² y apotema 2.5 cm: hallar l, h y $A_T$ .

l = √9 = 3 cm. 2. 6 = 9h/3 → 18 = 9h → h = 2 cm. 3. P = 4·3 = 12 cm; $A_T$ = 9 + (12·2.5)/2 = 24 cm².

Tabla

Dato	Valor
Volumen de la pirámide	$6 \, \text{cm}^{3}$
Área de la base	$9 \, \text{cm}^{2}$
Lado de la base ( $l$ )	$3 \, \text{cm}$
Altura de la pirámide ( $h$ )	$2 \, \text{cm}$
Apotema (altura lateral)	$2.5 \, \text{cm}$
Perímetro de la base	$12 \, \text{cm}$
Área total	$24 \, \text{cm}^{2}$

Fórmulas y ecuaciones

$V_{$ $\text{prisma}$ } = $A_{B}$ $\cdot$ h

$V_{$ $\text{pirámide}$ } = $\frac{A_{B} \cdot h}{3}$

l = $\sqrt{A_{B}}$ \ $\text{(base cuadrada)}$

$A_{T}$ = $A_{B}$ + $\frac{P \cdot a}{2}$

V = $A_{B}$ h

h = $\frac{900}{300}$ = 3

V = $\frac{A_{B}h}{3}$

6 = $\frac{9h}{3}$

h = $\frac{18}{9}$ = 2

l = $\sqrt{A_{B}}$ = $\sqrt{9}$ = 3

$A_{T}$ = $A_{B}$ + $\frac{P \cdot a}{2}$ = 9 + $\frac{12 \times 2.5}{2}$ = 24

Glosario (5)

Prisma rectangular: Sólido con bases rectangulares paralelas e iguales; su volumen es V = A_B·h.
Pirámide cuadrangular: Sólido con base cuadrada y una altura que parte de un vértice opuesto a la base.
Apotema de la pirámide: Altura lateral: distancia desde el vértice hasta el punto medio de un lado de la base, medida sobre la cara lateral.
Área total de la pirámide: Suma del área de la base más el área de las cuatro caras laterales: A_T = A_B + (P·a)/2.
Despeje: Proceso algebraico para aislar una incógnita en una fórmula.

Preguntas para practicar

¿Por qué la fórmula del volumen de una pirámide lleva un divisor entre 3?

Porque una pirámide ocupa exactamente un tercio del volumen de un prisma o cilindro con la misma base y la misma altura; al dividir el producto A_B·h entre 3 se obtiene ese tercio.

¿Cómo verificarías que la altura hallada es correcta?

Sustituyendo el valor obtenido en la fórmula original: si al reemplazar h = 2 en V = (A_B·h)/3 se recupera V = 6 cm³, el resultado es correcto.

Temas y conceptos clave

Cálculo de una variable en función de otrasVolumen de prisma rectangularVolumen y área de la pirámide cuadrangularVolumen del prisma V = A_B·hVolumen de la pirámide V = (A_B·h)/3Altura de la pirámideApotema o altura lateralÁrea total de la pirámide A_T = A_B + (P·a)/2Despeje de fórmulas

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Figuras de la página (1)

Pirámide cuadrangular con base rosa que indica Área de la base 9 cm², altura vertical punteada (Altura de la pirámide h), apotema punteado (Apotema de la pirámide o altura lateral 2.5 cm), lado de la base (l) y anotación Volumen V = 6 cm³. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se despeja la altura en la fórmula del volumen de un prisma rectangular?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué relación hay entre el área de la base cuadrada y su lado?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se calcula el área total de una pirámide cuadrangular?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Fórmula del volumen del prisma rectangular V = A_B · h
• Fórmula del volumen de la pirámide V = (A_B · h)/3
• Área del cuadrado A = l²
• Operaciones con fracciones y despeje de ecuaciones lineales

Siguiente tema sugerido

Resolución de problemas de volumen y área de sólidos geométricos con planteamiento algebraico

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1264 caracteres

Para calcular la profundidad del estanque, se sustituyen los valores conocidos en la fórmula de volumen, luego se despeja y se determina el valor de la altura:

$\begin{aligned}V&=A_{B}b\\900&=300b\\\frac{900}{300}&=b\\b&=3\end{aligned}$

Por lo tanto, la altura del prisma rectangular o la profundidad del estanque debe ser de 3 m.

Otro ejemplo del cálculo de una variable en función de otras es el siguiente:

Un estudiante de arquitectura desea hacer la maqueta de una pirámide cuadrangular con un volumen de $6\ cm^{3}$ . El área de la base es de $9\ cm^{2}\ y$ la altura lateral (apotema de la pirámide) es de 2.5 cm.

Para iniciar la construcción de la maqueta, se requiere calcular cuánto mide un lado de la base (l), la altura de la pirámide (h) y, para saber la cantidad de material que se utilizará, es necesario calcular el área total de la pirámide $(A_{T})$ 一.

Si la base es cuadrangular y su área es igual a 9 cm2, entonces $l=3cm$

Si $V=6cm^{3}yA_{B}=9$ y despejar la altura se tiene:

$\begin{aligned}&V=\frac{(A_{B}b)^{2}}{3}\\ &\quad6=\frac{9b}{3}\\ &\quad6(3)=9b\\ &\quad18=9b\\ &\quad\frac{18}{9}=b\\ &\quad b=2\\ \end{aligned}$

Por tanto, la altura de la pirámide debe ser de 2 cm.

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