Múltiplos, divisores y máximo común múltiplo con ciclos de cigarras

1. Elijo cinco enteros terminados en 5: 5,\ 15,\ 25,\ 35,\ 45.
2. Verifico: 5 = 5 \times 1, 15 = 5 \times 3, 25 = 5 \times 5, 35 = 5 \times 7, 45 = 5 \times 9.
3. Cada uno es 5 multiplicado por un entero, por lo tanto son múltiplos de 5.

1. Un múltiplo de 2 tiene la forma 2 \times n, con n entero, así que su último dígito es par: 0, 2, 4, 6, 8.
2. El 3 y el 7 son impares, así que ningún múltiplo de 2 termina en 3 ni en 7.
3. El 8 sí es par, por ejemplo 8 = 2 \times 4.
4. Ejemplos: 2 = 2 \times 1, 4 = 2 \times 2, 6 = 2 \times 3, 8 = 2 \times 4, 10 = 2 \times 5, 14 = 2 \times 7.

1. Sumo los dos múltiplos dados: 15 + 18 = 33.
2. Compruebo si 33 es múltiplo de 3: 33 = 3 \times 11, y 11 es entero, luego sí lo es.
3. Explicación general: si a = 3m y b = 3n, entonces a + b = 3m + 3n = 3(m + n), es decir, la suma vuelve a ser múltiplo de 3. Otro ejemplo: 6 + 12 = 18 = 3 \times 6.

1. Idea de Luisa: «la cantidad de múltiplos de un número es finita». Reviso los múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, \dots; puedo seguir indefinidamente (3n con n creciente), así que son infinitos. La idea de Luisa es incorrecta.
2. Idea de Kibari: «la cantidad de divisores de un número es finita». Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6, 12: solo 6 elementos. Ningún entero mayor que 12 divide a 12, de modo que el conjunto es finito. La idea de Kibari es correcta.
3. Conclusión: siempre que n \ge 1, sus divisores son ≤ n, por eso son pocos; en cambio los múltiplos n, 2n, 3n, \dots no tienen cota superior.

Aceptamos el reto (magicicadas)

Reto 1.a

1. Las especies emergen cada 17 años y cada 13 años: busco el primer año en que coinciden, es decir, el mínimo común múltiplo de 17 y 13.
2. 17 y 13 son números primos, por lo que su mcm es su producto: \text{mcm}(17,13) = 17 \times 13.
3. Calculo: 17 \times 13 = 17 \times 10 + 17 \times 3 = 170 + 51 = 221.

Respuesta: \text{mcm}(17,13) = 221 años.

Reto 1.b

Respuesta orientativa: Deben pasar 221 años. Como 17 y 13 son primos entre sí, el primer año en que ambas brotan juntas es el producto de los dos ciclos; en cada año anterior solo coincidirían si el año fuera múltiplo de los dos números a la vez, cosa que recién ocurre en el 221.

Reto 2.a

1. La cigarra de 13 años se cruza con depredadores de ciclo 3 años: calculo \text{mcm}(13,3).
2. 13 y 3 son primos, así que \text{mcm}(13,3) = 13 \times 3 = 39.

Respuesta: \text{mcm}(13,3) = 39 años.

Reto 2.b

1. La cigarra de 17 años frente a depredadores de 3 años: calculo \text{mcm}(17,3).
2. 17 y 3 son primos, de modo que \text{mcm}(17,3) = 17 \times 3 = 51.

Respuesta: \text{mcm}(17,3) = 51 años.

Reto 3

1. Un número primo solo tiene dos divisores: 1 y él mismo, así que no comparte factores con otros primos distintos.
2. Si los ciclos son primos p y q, entonces \text{mcm}(p,q) = p \times q, que es el valor más pequeño posible para ciclos dados.
3. Un intervalo largo de coincidencia reduce la probabilidad de que la cigarra y su depredador aparezcan al mismo tiempo y en grandes cantidades.

Respuesta orientativa: Los ciclos suelen ser primos porque así el mcm con cualquier otro ciclo resulta grande, lo que hace que las coincidencias con los depredadores sean poco frecuentes: es una ventaja evolutiva que reduce la depredación.