Divisores de números con regletas: actividades y problemas

Actividad de regletas: aplicar el método de Leonardo para hallar los divisores de 15 y proponer dos ejemplos adicionales.

1. Un divisor de un número es otro número que cabe exactamente dentro de él (la división queda sin residuo).
2. Para 15, probamos las regletas: la de longitud 1 cabe 15 veces, 15 \div 1 = 15; la de 3 cabe 5 veces, 15 \div 3 = 5; la de 5 cabe 3 veces, 15 \div 5 = 3; la de 15 cabe 1 vez, 15 \div 15 = 1.
3. Ninguna otra longitud (2, 4, 6, ...) divide a 15 sin sobrar.
4. Divisores de 15: D(15)=\{1,3,5,15\}, con las parejas 1\times 15=3\times 5.
5. Ejemplo 2: número 18. 18\div1=18, 18\div2=9, 18\div3=6; los demás fallan. D(18)=\{1,2,3,6,9,18\}.
6. Ejemplo 3: número 20. 20\div1=20, 20\div2=10, 20\div4=5, 20\div5=4; 3,6,7 no caben. D(20)=\{1,2,4,5,10,20\}.

Pregunta de cierre (regletas con 15)

Respuesta orientativa: Coloco regletas del mismo ancho y voy probando longitudes: la unidad cabe 15 veces, la de 3 cabe 5 veces y la de 5 cabe 3 veces; cada longitud que cabe un número exacto de veces es divisor de 15, de modo que los divisores son 1, 3, 5 y 15.

Distribuir 40 pastillas cuadradas en rectángulos (pares de factores de 40).

1. Factorizamos: 40 = 2^3 \times 5.
2. Divisores de 40: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.
3. Cada divisor d da un rectángulo de d filas por \frac{40}{d} columnas.
4. Formas: 1\times40, 2\times20, 4\times10, 5\times8, 8\times5, 10\times4, 20\times2, 40\times1.

¿Se pueden colocar 23 pastillas en 3 filas iguales sin que sobren ni falten?

1. Dividimos: 23 \div 3 = 7 con residuo 2, es decir, 23 = 3 \times 7 + 2.
2. Como el residuo es 2 (no 0), 3 no es divisor de 23.

Acomodar 13 pastillas en rectángulos.

1. Divisores de 13: probamos 13\div1=13; 13\div2, 13\div3, 13\div4 no son exactas.
2. 13 es primo: solo tiene 1 y 13.
3. Único rectángulo: 1\times13 (y su giro 13\times1).

Divisores de 13, 15 y 21.

1. 13: 13\div1=13 y nada más. D(13)=\{1,13\}.
2. 15: 15\div3=5, 15\div5=3. D(15)=\{1,3,5,15\}.
3. 21: 21\div3=7, 21\div7=3. D(21)=\{1,3,7,21\}.
4. Representación: rectángulos de 1\times13; 1\times15 y 3\times5; 1\times21 y 3\times7.

Respuesta: D(13)=\{1,13\}, D(15)=\{1,3,5,15\}, D(21)=\{1,3,7,21\}.

Aceptamos el reto 1

Reparto de 35 fichas entre 3, 4, 5 o 6 jugadores sin que sobre ni falte.

1. 35 \div 3 = 11 con residuo 2: no sirve.
2. 35 \div 4 = 8 con residuo 3: no sirve.
3. 35 \div 5 = 7 sin residuo: sirve.
4. 35 \div 6 = 5 con residuo 5: no sirve.

Respuesta: Entre 5 jugadores, cada uno recibe 7 fichas.

Aceptamos el reto 2

Verificar si 35 es divisor de 875.

1. Dividimos: 875 \div 35.
2. 35 \times 25 = 875 (pues 35\times20=700 y 35\times5=175; 700+175=875).
3. El cociente 25 es entero, sin residuo.

Respuesta: Sí, 35 es divisor de 875, con cociente 25.

Aceptamos el reto 3

Múltiplos de 8 entre 100 y 200.

1. El primer múltiplo de 8 mayor o igual que 100: 8\times13=104.
2. El último menor o igual que 200: 8\times25=200.
3. Los múltiplos de 8\times13 a 8\times25 forman una sucesión de paso 8.
4. Lista: 104, 112, 120, 128, 136, 144, 152, 160, 168, 176, 184, 192, 200.
5. Cantidad: 25-13+1=13 números.

Respuesta: 13 números: 104, 112, 120, 128, 136, 144, 152, 160, 168, 176, 184, 192 y 200.

Aceptamos el reto 4

Encontrar números según la cantidad de divisores.