Ejercicio 1
En el triángulo de Pascal mostrado, escribe las tres filas siguientes. Luego responde: ¿qué número sigue al 1 en la fila 75?, ¿cuál es la suma de los números de la fila 20?, ¿qué patrón siguen las diagonales?
- Identificamos la regla del triángulo de Pascal: cada número es la suma de los dos que tiene encima, y cada fila empieza y termina en 1.
- Última fila visible: 1 \; 5 \; 10 \; 10 \; 5 \; 1. A partir de ella formamos las siguientes.
Parte 1.a
Filas siguientes
- Fila 6: 1,\; 1+5=6,\; 5+10=15,\; 10+10=20,\; 10+5=15,\; 5+1=6,\; 1 → 1 \; 6 \; 15 \; 20 \; 15 \; 6 \; 1.
- Fila 7: 1,\; 1+6=7,\; 6+15=21,\; 15+20=35,\; 20+15=35,\; 15+6=21,\; 6+1=7,\; 1 → 1 \; 7 \; 21 \; 35 \; 35 \; 21 \; 7 \; 1.
- Fila 8: 1,\; 1+7=8,\; 7+21=28,\; 21+35=56,\; 35+35=70,\; 35+21=56,\; 21+7=28,\; 7+1=8,\; 1 → 1 \; 8 \; 28 \; 56 \; 70 \; 56 \; 28 \; 8 \; 1.
Respuesta
1\;6\;15\;20\;15\;6\;1; 1\;7\;21\;35\;35\;21\;7\;1; 1\;8\;28\;56\;70\;56\;28\;8\;1.
Parte 1.b
Número que sigue al 1 en la fila 75
- Observamos la segunda posición de cada fila: fila 2 → 1, fila 3 → 2, fila 4 → 3, fila 5 → 4, fila 6 → 5.
- En general, en la fila n (numerando la primera fila como fila 1), el número que sigue al 1 es n-1.
- Para n=75: 75-1=74.
Respuesta
Parte 1.c
Suma de los números de la fila 20
- Sumas de las filas mostradas: fila 1: 1=2^0; fila 2: 1+1=2=2^1; fila 3: 1+2+1=4=2^2; fila 4: 1+3+3+1=8=2^3; fila 5: 16=2^4; fila 6: 32=2^5.
- En general, la suma de la fila n es 2^{n-1}.
- Para n=20: 2^{19}=524\,288.
Respuesta
524\,288.
Parte 1.d
Patrón en las diagonales
- Primera diagonal: 1,1,1,1,\ldots (constante).
- Segunda diagonal: 1,2,3,4,5,\ldots (números naturales).
- Tercera diagonal: 1,3,6,10,15,\ldots (números triangulares).
- Cuarta diagonal: 1,4,10,20,35,\ldots (números tetraédricos).
- En general, la diagonal k contiene los coeficientes binomiales \binom{m}{k-1}.
Respuesta
Las diagonales dan, sucesivamente, unos; números naturales; números triangulares; números tetraédricos; etc.
