Ensayo y error y suponer el problema resuelto

La página presenta dos estrategias heurísticas: ensayo y error y suponer el problema resuelto. Se usan para atacar problemas no rutinarios.

Ejemplo 1: duplicación de la población

Enunciado: población actual del Perú 33 millones, tasa 5% anual, ¿en cuánto tiempo se duplica?

1. Modelo exponencial: P(t)=33(1.05)^t millones.
2. Duplicar: 66=33(1.05)^t.
3. Dividimos entre 33: 2=(1.05)^t.
4. Aplicamos logaritmo natural: t=\frac{\ln 2}{\ln 1.05}.
5. Calculamos: t\approx \frac{0.6931}{0.0488}\approx 14.2 años.

Respuesta: aproximadamente 14.2 años, es decir, unos 14 años y 2 meses.

Ejemplo 2: páginas de un libro

Enunciado: el producto de dos páginas consecutivas es 3192. ¿Cuáles son?

1. Sean n y n+1 las páginas consecutivas.
2. Planteamos n(n+1)=3192.
3. Desarrollamos: n^2+n-3192=0.
4. Discriminante: \Delta=1+4(3192)=12769.
5. Raíz: \sqrt{12769}=113.
6. n=\frac{-1+113}{2}=56.

Respuesta: las páginas son 56 y 57.

Ejemplo 3: tangente con regla y compás

Enunciado: construir una tangente a una circunferencia desde un punto exterior P.

1. Se supone resuelto: sea T el punto de tangencia.
2. Por el teorema de la tangente, OT\perp PT.
3. Entonces \triangle OPT es rectángulo en T; por el arco capaz de 90^\circ, T está en la circunferencia de diámetro OP.
4. Construcción: trazar OP; hallar su punto medio M; dibujar la circunferencia de centro M y radio MO.
5. Las intersecciones con la circunferencia dada son T y T'.
6. Unir P con T y con T'.

Respuesta: PT y PT' son las tangentes buscadas.