Estrategias para resolver problemas matemáticos

José, Jaime, Tito y Rosa son guardias en un museo; cada uno hace guardia 4 días a la semana, dos personas por día y nadie hace tres días seguidos. ¿Cuál de los tres hombres no hace guardia con Rosa?

1. De la lista parcial se lee que Rosa hace guardia martes y sábado; José domingo y miércoles; Jaime domingo y jueves; Tito lunes y viernes. Cada hombre completa 4 días, así que los hombres ocupan 12 puestos y Rosa solo 2 (martes y sábado), con 2 guardias por día.
2. Los días miércoles, jueves, viernes y lunes solo pueden ser completados por hombres, y la restricción «nadie hace tres días seguidos» obliga a alternar: José no puede tomar martes–miércoles–jueves juntos, ni Jaime miércoles–jueves.
3. Una asignación que cumple todas las condiciones es:

4. Verificación: José (dom, mar, miér, vier), Jaime (dom, lun, miér, juev) y Tito (lun, mar, juev, vier) hacen 4 días cada uno y ninguno acumula tres días consecutivos; Rosa hace martes y sábado.
5. Los compañeros de Rosa son José (martes) y Tito (sábado), por lo que el único que nunca comparte guardia con ella es Jaime.

El nivel del agua de un pozo desciende 3 cm por debajo de su mitad en cada hora, hasta quedar vacío luego de 4 horas. ¿Qué profundidad tenía el agua inicialmente?

1. Cada hora la operación directa sobre el nivel n es: nuevo nivel =\frac{n}{2}-3 (la mitad menos 3 cm).
2. Las operaciones directas encadenadas son x \to \left(\div 2,\, -3,\ \div 2,\, -3,\ \div 2,\, -3,\ \div 2,\, -3\right) \to 0.
3. Se opera al revés (cada paso inverso es «sumar 3 y multiplicar por 2»): antes de la 4.ª hora \frac{n_3}{2}-3=0 \Rightarrow n_3=6.
4. Antes de la 3.ª hora: \frac{n_2}{2}-3=6 \Rightarrow n_2=18.
5. Antes de la 2.ª hora: \frac{n_1}{2}-3=18 \Rightarrow n_1=42.
6. Nivel inicial: \frac{x}{2}-3=42 \Rightarrow \frac{x}{2}=45 \Rightarrow x=90.
7. Verificación directa: 90 \to 42 \to 18 \to 6 \to 0, y queda vacío en 4 horas.

Dos velas de la misma longitud se encienden al mismo tiempo. La primera se consume en 4 h y la segunda en 3 h. ¿Cuánto tiempo pasa hasta que la primera tenga el doble de longitud que la segunda?

1. Sea L la longitud inicial y x el tiempo en horas. La primera vela pierde \frac{1}{4}L por hora: le queda L-\frac{1}{4}Lx.
2. La segunda pierde \frac{1}{3}L por hora: le queda L-\frac{1}{3}Lx.
3. Condición: la primera mide el doble que la segunda: L-\frac{1}{4}Lx=2\left[L-\frac{1}{3}Lx\right]
4. Se divide entre L (con L \neq 0): 1-\frac{1}{4}x=2-\frac{2}{3}x.
5. Se agrupan términos: \frac{2}{3}x-\frac{1}{4}x=1 \Rightarrow \frac{8x-3x}{12}=1 \Rightarrow \frac{5x}{12}=1.
6. Se despeja: x=\frac{12}{5}=2{,}4 horas.
7. Verificación: a las 2{,}4 h la primera mide L(1-0{,}6)=0{,}4L y la segunda L(1-0{,}8)=0{,}2L; en efecto 0{,}4L=2(0{,}2L).

Estrategia: Establece submetas

1. Para resolver un problema grande conviene dividirlo en problemas auxiliares más pequeños.
2. Es como escalar una montaña: se conquistan alturas menores antes de la cima.
3. Este método se aplica cuando el problema original no tiene una ruta directa de solución; el subproblema auxiliar sirve de «medio» para llegar al resultado.

Respuesta orientativa: establecer submetas consiste en descomponer el problema en metas parciales resueltas una por una, cuyos resultados se encadenan hasta la solución final.