Diagramas conjuntistas, cartesianos, lineales y de árbol

De los 35 estudiantes de un aula, 23 usan lentes y 20 usan reloj. ¿Cuántos usan ambas cosas?

1. Datos: |U| = 35, |A| = 23 (usan lentes), |B| = 20 (usan reloj).
2. Como todo estudiante del aula usa lentes o reloj, |A \cup B| = 35.
3. Principio de inclusión-exclusión: |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|.
4. Sustituyo: 35 = 23 + 20 - x \Rightarrow 35 = 43 - x.
5. Despejo: x = 43 - 35 = 8.

El crecimiento de un grupo de bacterias es constante. Al inicio hay 3 bacterias y a los 8 días hay 20. ¿Cuántos días transcurrirán desde el inicio para que la colonia tenga 400 bacterias?

1. Pares ordenados: (0;\,3) y (8;\,20), con t = días y B(t) = cantidad de bacterias.
2. Pendiente (razón de cambio): m = \dfrac{20-3}{8-0} = \dfrac{17}{8} = 2{,}125 bacterias por día.
3. Ecuación de la recta: B(t) = 3 + \dfrac{17}{8}\,t.
4. Sustituyo B(t)=400: 400 = 3 + \dfrac{17}{8}\,t.
5. Despejo: 397 = \dfrac{17}{8}\,t \Rightarrow t = \dfrac{397 \times 8}{17} = \dfrac{3176}{17}.
6. Divido: t \approx 186{,}8 días.

Si Roberto y Alfredo están más alegres que Tomás, y Alberto está menos alegre que Roberto pero más alegre que Alfredo, ¿quién está menos alegre?

1. Traduzco a la recta de orden (de - a +): Roberto > Tomás y Alfredo > Tomás.
2. Segundo dato: Roberto > Alberto > Alfredo.
3. Encadeno: Tomás < Alfredo < Alberto < Roberto.
4. El elemento que queda más a la izquierda es Tomás.

Un productor quiere armar un dúo mixto; puede elegir entre 3 cantantes mujeres (Rosa, Ana, Nancy) y 2 varones (José, Raúl). ¿Cuántos dúos mixtos diferentes puede formar?

1. Ramas de primer nivel: 3 opciones de mujer.
2. De cada mujer salen 2 ramas, una por varón: 3 \times 2.
3. Cuento las hojas del árbol: Rosa–José, Rosa–Raúl, Ana–José, Ana–Raúl, Nancy–José, Nancy–Raúl.

El arreglo mostrado se conoce como triángulo de Pascal.

Respuesta orientativa: Es un arreglo triangular donde cada número es la suma de los dos que tiene encima, empezando y terminando cada fila en 1. Sirve para hallar patrones numéricos, coeficientes de potencias y conteos combinatorios; por eso es un ejemplo típico de la estrategia «busca patrones».