Conociendo algunas estrategias: lista sistemática, generaliza y particulariza

Escribe las tres filas siguientes del arreglo (triángulo de Pascal).

1. Cada fila empieza y termina en 1.
2. Cada número interior es la suma de los dos que están justo encima de él: \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}.
3. Fila 7: 1, 1+5=6, 5+10=15, 10+10=20, 10+5=15, 5+1=6, 1 → 1\;6\;15\;20\;15\;6\;1.
4. Fila 8: 1\;7\;21\;35\;35\;21\;7\;1.
5. Fila 9: 1\;8\;28\;56\;70\;56\;28\;8\;1.

¿Qué número sigue al 1 en la fila 75?

1. En la fila n el segundo elemento es \binom{n-1}{1}=n-1: en la fila 3 es 2, en la fila 5 es 4.
2. Para n=75: 75-1=74.

¿Cuál es la suma de los números que ocupan la fila número 20?

1. La suma de la fila n es 2^{n-1} (fila 1: 1=2^{0}; fila 2: 2=2^{1}; fila 3: 4=2^{2}).
2. Sustituyendo n=20: 2^{20-1}=2^{19}.
3. 2^{19}=524288.

¿Puedes encontrar un patrón en las diagonales del triángulo de Pascal?

1. Primera diagonal: 1,1,1,1,\dots (unos).
2. Segunda diagonal: 1,2,3,4,5,\dots (números naturales).
3. Tercera diagonal: 1,3,6,10,15,\dots (números triangulares, \frac{n(n+1)}{2}).
4. Cuarta diagonal: 1,4,10,20,\dots (números tetraédricos). Además, la suma de cada fila es una potencia de dos y las diagonales cumplen \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}.

Ejemplo 1 (lista sistemática)

Contar los triángulos de la figura.

1. Contamos por número de letras: con una letra a,b,c,d → 4.
2. Con dos letras: ab,bc,cd → 3.
3. Con tres letras: abc,bcd → 2.
4. Con cuatro letras: abcd → 1.
5. Total: 4+3+2+1=10.

Respuesta: 10 triángulos.

Ejemplo 2 (generaliza)

Halla el valor de (234\,756\,474)^{2}-(234\,756\,473)^{2}.

1. Generalizamos con n=234\,756\,473: queda (n+1)^{2}-n^{2}.
2. Factorizamos por diferencia de cuadrados: a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b), con a=n+1 y b=n: (n+1)^{2}-n^{2}=(n+1+n)(n+1-n).
3. Simplificamos: =(2n+1)(1)=2n+1.
4. Sustituimos: 2(234\,756\,473)+1=469\,512\,946+1=469\,512\,947.

Respuesta: 469\,512\,947.

Ejemplo 3 (particulariza)

¿Se debe calcular primero el descuento del 12\,\% o el IGV del 18\,\%?

1. Particularizamos con un artículo de S/100.
2. Primero descuento: 100\times(1-0{,}12)=100\times0{,}88=88; luego IGV: 88\times1{,}18=103{,}84.
3. Primero IGV: 100\times1{,}18=118; luego descuento: 118\times0{,}88=103{,}84.
4. Como la multiplicación es conmutativa, 100\times0{,}88\times1{,}18=100\times1{,}18\times0{,}88=103{,}84.

Respuesta: Da igual el orden: se paga la misma cantidad (S/103{,}84).