Estrategias: ensayo y error y suponer el problema resuelto

Supongamos que la población actual del Perú es de 33 millones de habitantes y la tasa de crecimiento es de un 5 % anual. ¿En cuánto tiempo se duplicará la población?

1. Se modela la población con crecimiento exponencial: P(t)=33\,(1{,}05)^{t}, con P en millones y t en años.
2. Duplicar significa llegar a 66 millones, así que se plantea la igualdad: 33\,(1{,}05)^{t}=66.
3. Se divide entre 33: (1{,}05)^{t}=2.
4. Se aplican logaritmos: t\log 1{,}05=\log 2, de donde t=\dfrac{\log 2}{\log 1{,}05}.
5. Se calcula: t=\dfrac{0{,}30103}{0{,}021189}\approx 14{,}2 años.
6. Comprobación por ensayo y error (la estrategia de la página): 33(1{,}05)^{14}\approx 65{,}3 millones y 33(1{,}05)^{15}\approx 68{,}6 millones; el valor 66 queda entre ambos.

Un libro se abre al azar. El producto de los dos números de página observados es 3192. ¿Cuál es el número de las páginas en las que se abrió el libro?

Usando solo regla y compás, construye una tangente a una circunferencia dada, desde un punto exterior a ella.

1. Estrategia «supón el problema resuelto»: se supone trazada la tangente desde P y sea T el punto de tangencia.
2. Teorema que relaciona los elementos: el radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia; por tanto OT\perp PT.
3. Como P, T y O forman un triángulo con ángulo recto en T, T está en la circunferencia de diámetro OP (teorema de Tales).
4. Construcción: se traza el segmento OP y se halla su punto medio M con la regla y el compás.
5. Con centro en M y radio MO se dibuja una circunferencia; sus cortes con la circunferencia dada son los posibles puntos de tangencia T y T'.
6. Se unen P con T y con T': esas rectas son las tangentes pedidas.
7. Verificación: en el triángulo OPT el ángulo en T es recto porque está inscrito en una semicircunferencia, luego PT\perp OT y PT es tangente.