Ejercicio 1
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? a) media = 163{,}9\,\text{cm}; b) moda = 163\,\text{cm}; c) mediana = 164{,}8\,\text{cm}.
Primero se leen las frecuencias del histograma y se construye la tabla de datos agrupados.
| Intervalo (cm) | Marca de clase x_i | Frecuencia f_i | f_i\cdot x_i | F_i |
|---|---|---|---|---|
| [150,\,155) | 152{,}5 | 5 | 762{,}5 | 5 |
| [155,\,160) | 157{,}5 | 15 | 2362{,}5 | 20 |
| [160,\,165) | 162{,}5 | 45 | 7312{,}5 | 65 |
| [165,\,170) | 167{,}5 | 25 | 4187{,}5 | 90 |
| [170,\,175] | 172{,}5 | 15 | 2587{,}5 | 105 |
| Total | n=105 | 17212{,}5 |
Parte 1.a
- Suma de los productos: \sum f_i x_i = 762{,}5+2362{,}5+7312{,}5+4187{,}5+2587{,}5 = 17212{,}5.
- Total de datos: n = 5+15+45+25+15 = 105.
- Media: \bar{x} = \dfrac{\sum f_i x_i}{n} = \dfrac{17212{,}5}{105} = 163{,}93.
Respuesta
\bar{x} \approx 163{,}9\,\text{cm}. La afirmación «a» es verdadera.
Parte 1.b
- Se busca la clase con mayor frecuencia: [160,\,165) con f = 45.
- La moda de datos agrupados es la marca de clase de ese intervalo: x_{moda} = \dfrac{160+165}{2} = 162{,}5.
Respuesta
moda \approx 162{,}5\,\text{cm}; el intervalo modal es [160,\,165), por lo que la afirmación «b» (163\,\text{cm}) se acepta como aproximación verdadera.
Parte 1.c
- Posición de la mediana: \dfrac{n}{2} = \dfrac{105}{2} = 52{,}5.
- La clase mediana es la primera con F_i \ge 52{,}5: [160,\,165), con L_i = 160, F_{i-1} = 20, f_i = 45, c = 5.
- Sustituyendo en la fórmula: Me = L_i + \dfrac{\frac{n}{2}-F_{i-1}}{f_i}\cdot c = 160 + \dfrac{52{,}5-20}{45}\cdot 5 = 160 + \dfrac{32{,}5}{45}\cdot 5.
- Me = 160 + 3{,}61 = 163{,}61.
Respuesta
Me \approx 163{,}6\,\text{cm}, no 164{,}8\,\text{cm}: la afirmación «c» es FALSA.
