Área de la base de una caja: registros tabular, gráfico, algebraico y lengua natural

Modelo del área de la base de una caja

Se construye una caja sin tapa a partir de una plantilla cuadrada de 10 \, \text{cm} de lado, recortando en cada esquina un cuadrado de lado x. El lado de la base queda 10-2x y el área es A(x)=(10-2x)^{2}, con 0<x<5.

1. Se identifica el lado de la base: al recortar dos cuadrados de lado x sobre cada lado de la plantilla, la longitud restante es 10-2x.
2. Como la base es un cuadrado, A = \text{lado}^{2}, es decir A(x)=(10-2x)^{2}.
3. Se desarrolla el cuadrado de la diferencia con (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, con a=10 y b=2x: (10-2x)^{2}=10^{2}-2\cdot 10\cdot 2x+(2x)^{2}=100-40x+4x^{2}
4. Se ordena: A(x)=4x^{2}-40x+100.
5. La altura debe permitir que exista la base, por lo que 10-2x>0 y x>0, de donde 0<x<5.

Respuesta: A(x)=(10-2x)^{2}=4x^{2}-40x+100, con 0<x<5.

Verificación de la tabla de valores

Se sustituye cada altura x en A(x)=(10-2x)^{2}.

Tabla

1. x=0: A(0)=(10-2\cdot 0)^{2}=10^{2}=100.
2. x=1: A(1)=(10-2)^{2}=8^{2}=64.
3. x=2: A(2)=(10-4)^{2}=6^{2}=36.
4. x=3: A(3)=(10-6)^{2}=4^{2}=16.
5. x=4: A(4)=(10-8)^{2}=2^{2}=4.
6. x=5: A(5)=(10-10)^{2}=0 (valor límite, el área deja de existir).

Respuesta: 100, 64, 36, 16, 4 y 0 \, \text{cm}^{2} respectivamente.

Lectura gráfica

1. La gráfica es una parábola abierta hacia arriba con vértice en x=5, A=0.
2. Para 0<x<5 la curva es decreciente: a mayor altura, menor área de la base.
3. El dominio útil del problema es el intervalo 0<x<5, no toda la parábola.

Respuesta: la gráfica confirma que el área disminuye cuando x crece entre 0 y 5.