Volumen de una caja: registros tabular, gráfico, algebraico y en lengua natural

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Respuesta rápida

$V(x)=(10-2x)^{2}x=4x^{3}-40x^{2}+100x$ cm $^{3}$ , con $0<x<5$ . Máximo cercano a $x=1{,}5$ cm: $V\approx 73{,}5$ cm $^{3}$ .

📚 theory matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 13

Fascículo para el desarrollo de la competencia Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio · 2024

Modelación del volumen de una caja

Se parte de una lámina cuadrada de lado $10$ cm a la que se recortan cuadrados de lado $x$ en cada esquina y se doblan las pestañas. La base resultante es un cuadrado de lado $10-2x$ y la altura de la caja es $x$ .

El área de la base es $A(x)=(10-2x)^{2}$ y el volumen es área de la base por altura:

$V(x)=(10-2x)^{2}\cdot x .$

Registro algebraico (desarrollo paso a paso)

Desarrollamos el cuadrado del binomio $(10-2x)^{2}$ : $(10-2x)^{2}=10^{2}-2\cdot 10\cdot 2x+(2x)^{2}=100-40x+4x^{2}.$
Ordenamos el trinomio: $4x^{2}-40x+100$ .
Multiplicamos por la altura $x$ : $V(x)=(4x^{2}-40x+100)\cdot x.$
Aplicamos distributiva: $V(x)=4x^{3}-40x^{2}+100x .$
Dominio del modelo: para que la caja exista se requiere $x>0$ y $10-2x>0$ , es decir $0<x<5$ .

Respuesta: $V(x)=4x^{3}-40x^{2}+100x$ cm $^{3}$ , con $0<x<5$ .

Registro tabular

Sustituyendo la altura $x$ en $A(x)$ y $V(x)$ :

$x=0$ : $A=(10)^{2}=100$ ; $V=100\cdot 0=0$ .
$x=1$ : $A=(10-2)^{2}=64$ ; $V=64\cdot 1=64$ cm $^{3}$ .
$x=1{,}5$ : $A=(10-3)^{2}=49$ ; $V=49\cdot 1{,}5=73{,}5$ cm $^{3}$ .
$x=2$ : $A=(10-4)^{2}=36$ ; $V=36\cdot 2=72$ cm $^{3}$ .
$x=3$ : $A=(10-6)^{2}=16$ ; $V=16\cdot 3=48$ cm $^{3}$ .
$x=4$ : $A=(10-8)^{2}=4$ ; $V=4\cdot 4=16$ cm $^{3}$ .
$x=5$ : $A=(10-10)^{2}=0$ ; $V=0\cdot 5=0$ .

Respuesta: el volumen máximo de la tabla aparece en $x=1{,}5$ con $73{,}5$ cm $^{3}$ .

Registro gráfico

La gráfica de $V(x)=4x^{3}-40x^{2}+100x$ en $0<x<5$ es una curva cúbica que arranca en $(0,0)$ , sube hasta un máximo cercano a $(1{,}7;\ 74)$ y desciende hasta $(5,0)$ . Esto confirma que el volumen crece y luego decrece.

Registro en lengua natural

El volumen depende de la altura $x$ , que debe ser un número real mayor que $0$ y menor que $5$ para que la caja exista. Al aumentar la altura el volumen primero crece (hasta aproximadamente $1{,}7$ cm) y después disminuye. Por ejemplo, con $x=1$ cm el volumen es $64$ cm $^{3}$ ; con $x=1{,}5$ cm alcanza $73{,}5$ cm $^{3}$ ; y al pasar a $x=2$ cm baja a $72$ cm $^{3}$ .