Competencia: resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio

Contenido: la competencia "Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio"

La página es un marco introductorio de la competencia. Sus ideas centrales son:

1. Fenómenos dinámicos. Se trabaja con el crecimiento y el decrecimiento, y con el análisis de tasas de cambio y variaciones en distintos contextos del mundo real, donde el cambio es una constante.
2. La función como herramienta. Las funciones matemáticas dan el marco para describir la relación entre variables que cambian continuamente.
3. El modelado matemático. Permite construir interpretaciones y predicciones de esos cambios en situaciones prácticas.
4. Contextos específicos. Se usan ejemplos como la descomposición exponencial o el crecimiento poblacional para interpretar mejor las tasas de cambio.
5. Representaciones múltiples. Gestos, representaciones gráficas y lenguaje, para hacer visible el razonamiento y detectar dificultades conceptuales.
6. Cambios negativos. También se modela el decrecimiento (fenómenos que disminuyen en lugar de aumentar).

Situación: optimizar la cría de cerdos (Pochulu, 2018)

Enunciado: un criador de cerdos busca mejorar la ganancia de su granja optimizando el crecimiento de los animales frente al costo del alimento. Cada cerdo consume en promedio 3\,\text{kg} de alimento balanceado al día. En las primeras etapas ganan peso rápidamente; al acercarse a su peso máximo el crecimiento se vuelve más lento y necesitan más alimento por cada kilogramo adicional de peso (eficiencia de conversión).

1. Variables del modelo. Tiempo t en días, peso del cerdo W(t) en \text{kg} y alimento consumido A(t) en \text{kg}.
2. Alimento consumido. Como el consumo es constante: A(t) = 3t.
3. Tipo de crecimiento. El peso crece rápido al inicio y se satura al acercarse a un peso máximo K, por lo que el comportamiento es de tipo logístico.
4. Modelo propuesto para el peso: W(t)=\frac{K}{1+a\,e^{-r\,t}} donde K es el peso máximo, r la rapidez inicial de crecimiento y a una constante de ajuste.
5. Eficiencia de conversión. Es el alimento necesario por kilogramo ganado: E(t)=\frac{A(t)}{W(t)}=\frac{3t}{W(t)} y aumenta a medida que W(t) se acerca a K.
6. Función ganancia. Si p es el precio por kg de alimento y q el precio de venta por kg de cerdo: G(t)=q\,W(t)-3p\,t.
7. Optimización. Se maximiza G(t) cuando G'(t)=q\,W'(t)-3p=0 \;\Rightarrow\; q\,W'(t)=3p, es decir, cuando el ingreso por el peso ganado en un día iguala el costo del alimento consumido ese día.

Respuesta orientativa: el punto óptimo de venta se alcanza cuando el aumento diario de peso ya no compensa el costo del alimento consumido; antes de ese punto conviene seguir alimentando y después de él la ganancia disminuye.