Equivalencia y sistemas de ecuaciones: balance de macronutrientes

Ejemplo: Balance de macronutrientes

Una entrenadora personal debe planificar la dieta de Juan: 2200 calorías diarias con 50% de carbohidratos, 30% de proteínas y 20% de grasas. Dispone de pechuga de pollo, arroz integral y palta.

1. Definir variables. Sea x = porciones de 100 g de pechuga; y = porciones de 100 g de arroz; z = porciones de 100 g de palta.

2. Calcular los aportes por porción de 100 g:

• Pechuga: 165 kcal, carbohidratos 0 kcal, proteínas 0.80\cdot165=132 kcal, grasas 0.20\cdot165=33 kcal.
• Arroz: 130 kcal, carbohidratos 0.85\cdot130=110.5 kcal, proteínas 0.10\cdot130=13 kcal, grasas 0.05\cdot130=6.5 kcal.
• Palta: 160 kcal, carbohidratos 0.10\cdot160=16 kcal, proteínas 0.05\cdot160=8 kcal, grasas 0.85\cdot160=136 kcal.

3. Metas diarias: carbohidratos 0.50\cdot2200=1100 kcal, proteínas 0.30\cdot2200=660 kcal, grasas 0.20\cdot2200=440 kcal.

4. Plantear el sistema: \begin{cases} 110.5y+16z=1100 \\ 132x+13y+8z=660 \\ 33x+6.5y+136z=440 \end{cases} (La ecuación de calorías 165x+130y+160z=2200 es combinación de las anteriores.)

5. Resolver. De la primera ecuación: 110.5y+16z=1100 \Rightarrow y=\frac{1100-16z}{110.5}=\frac{2200-32z}{221}. Sustituyendo en la segunda: 132x+13\left(\frac{2200-32z}{221}\right)+8z=660 132x=\frac{117260-1352z}{221} x=\frac{117260-1352z}{29172}. Sustituyendo en la tercera y simplificando: z=\frac{825}{454}\approx1.817. Luego: y=\frac{2200-32z}{221}=\frac{2200}{227}\approx9.691, x=\frac{117260-1352z}{29172}\approx3.935.

6. Interpretar: multiplicar por 100 g.

• Pechuga: 3.935\cdot100=393.5 g.
• Arroz integral: 9.691\cdot100=969.1 g.
• Palta: 1.817\cdot100=181.7 g.

Respuesta: Se requieren aproximadamente 393.5 g de pechuga de pollo, 969.1 g de arroz integral y 181.7 g de palta.

Verificación: Calorías: 165(3.935)+130(9.691)+160(1.817)\approx2200; carbohidratos: 110.5(9.691)+16(1.817)\approx1100; proteínas: 132(3.935)+13(9.691)+8(1.817)\approx660; grasas: 33(3.935)+6.5(9.691)+136(1.817)\approx440.