Mínimo común múltiplo (mcm)
Respuesta rápida
El mcm de 3, 2 y 4 es 12. Los ciclistas se encontrarán nuevamente en 12 minutos. Los múltiplos comunes de 10 y 20 son 20,40,60,80,100,\ldots.
Solución — Página 90
Matematica 6° · Egb 6 Matematica 2025 · 2025
Concepto
El mínimo común múltiplo, o mcm, de dos o más números naturales es el menor de sus múltiplos comunes, sin considerar el cero.
Situación de los ciclistas
Juan tarda 3 minutos, María tarda 2 minutos y Pepe tarda 4 minutos en completar una vuelta. Para saber cuándo volverán a coincidir, calculamos el mcm de 3, 2 y 4.
Método 1: listado de múltiplos
Los múltiplos son:
- M_3=\{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45\}
- M_2=\{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30\}
- M_4=\{4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56,60\}
Los múltiplos comunes son 12 y 24. El menor de ellos es 12.
Por tanto:
\operatorname{mcm}(3,2,4)=12
Los tres ciclistas volverán a encontrarse en el mismo lugar después de 12 minutos.
Método 2: descomposición en factores primos
Se descomponen los números hasta obtener 1 en cada columna:
2=2
3=3
4=2^2
Se toman todos los factores primos con su mayor exponente:
\operatorname{mcm}(2,3,4)=2^2\times 3=4\times 3=12
Ideas importantes
- Si un número es múltiplo del otro, el mcm es el número mayor.
- Si dos números son primos entre sí, el mcm es el producto de ambos.
- Los números arábigos fueron inventados en la India y posteriormente difundidos por estudiosos árabes; por eso reciben ese nombre.
Contenido de la página
Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo de dos o más números naturales es el menor de los múltiplos comunes de todos ellos, diferente de cero.
Métodos de cálculo
- Listado de múltiplos: se escriben los múltiplos de cada número, se identifican los que se repiten y se escoge el menor.
- Descomposición en factores primos: se descomponen los números y se multiplican los factores primos con sus mayores exponentes.
Aplicación
Si tres ciclistas tardan 3, 2 y 4 minutos en dar una vuelta, volverán a coincidir después de \operatorname{mcm}(3,2,4)=12 minutos.
Ejemplos resueltos
Tres ciclistas tardan 3, 2 y 4 minutos en completar una vuelta. ¿Después de cuánto tiempo volverán a coincidir?
Se calcula \operatorname{mcm}(3,2,4). Los múltiplos comunes menores son 12 y 24; el menor es 12. Por tanto, volverán a coincidir después de 12 minutos.
Tabla
| Número | Primeros múltiplos |
|---|---|
| 3 | 3,6,9,12,15,\ldots |
| 2 | 2,4,6,8,10,12,\ldots |
| 4 | 4,8,12,16,20,\ldots |
Fórmulas y ecuaciones
\operatorname{mcm}(a,b) es el menor múltiplo común de a y b, diferente de cero.
Si un número es múltiplo del otro, el mcm es el número mayor.
Si dos números son primos entre sí, su mcm es el producto de ambos.
\operatorname{mcm}(3,2,4)=12
\operatorname{mcm}(2,3,4)=2^2\times 3=12
4=2^2
Glosario (5)
- Múltiplo
- Número que se obtiene al multiplicar otro número natural por un número entero.
- Múltiplo común
- Número que es múltiplo de dos o más números a la vez.
- Mínimo común múltiplo
- El menor múltiplo común de dos o más números naturales, diferente de cero.
- Factor primo
- Número primo que forma parte de la descomposición multiplicativa de otro número.
- Números primos entre sí
- Dos números cuyo único divisor común es el número $1$.
Preguntas para practicar
¿Por qué el mcm permite saber cuándo vuelven a coincidir eventos que se repiten?
¿Qué ventaja tiene usar la descomposición en factores primos para calcular el mcm?
Temas y conceptos clave
Figuras de la página (4)
Preguntas que la gente también hace
¿Cómo se calcula el mínimo común múltiplo?
¿Cuál es el mcm de dos números primos entre sí?
¿Cuál es la diferencia entre múltiplo común y mínimo común múltiplo?
- • Reconocer los números naturales
- • Calcular múltiplos de un número
- • Conocer la multiplicación
- • Identificar factores primos
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1644 caracteres
El deporte es un campo de aplicación de la matemática,
Si un número es múltiplo del otro, el mem es el número mayor,
Si dos números son primos entre sí, el mem es el producto entre ellos.
A pesar del nombre, los números arábigos fueron inventados en India en el siglo V.
Indaga y responde: ¿por qué se llaman números arábigos?
Mínimo común múltiplo (mcm)
Desequilibrio cognitivo
¿Cuáles son los múltiplos comunes de los números 10 y 20?
d )
Tres amigos realizan una competencia ciclística. Juan se demora 3 minutos en dar la vuelta a la pista, María se demora 2 minutos, y Pepe, 4 minutos. Los tres salen juntos. ¿Cuánto tiempo tiene que pasar hasta que los tres se vuelvan a encontrar en un mismo lugar?
Para conocer en qué tiempo se volverán a encontrar, debemos obtener el mínimo común múltiplo (mem)
Método 1 Obtener los 15 primeros múltiplos de 3, 2 y 4,
( Ms = (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45} )
Em. = 2,4, 6,8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30) )
(ma
14,8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60} )
Identificamos los múltiplos comunes
entre los tres conjuntos. Estos son 12 y 24.
De los múltiplos comunes, obtenemos
el menor de ellos, Este corresponde a 12. 12 es el mem de 3, 2 y 4
Método 2 Obtenemos el mcm mediante el método abreviado. Para esto usamos la descomposición de factores primos hasta obtener 1 en cada uno de ellos
El mem de 2, 3,y 4=2%x 3=12
wow w N y
Juan, María y Pepe se volverán a encontrar en 12 minutos.
El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números naturales es el menor de los múltiplos comunes de todos los números, diferentes de cero.
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