Triángulos y su construcción

Saberes previos

La suma de las medidas de los ángulos interiores de todo triángulo es:

180^\circ

Elementos del triángulo

• Los vértices se nombran con letras mayúsculas: A, B y C.
• Los lados son los segmentos \overline{AB}, \overline{BC} y \overline{CA}.
• Los ángulos interiores son \angle CAB, \angle BCA y \angle ABC.

Teorema de los ángulos interiores

Se traza por el vértice B una recta paralela al lado AC. Los tres ángulos que se forman sobre la recta constituyen un ángulo llano, por lo que:

m\angle\alpha+m\angle ABC+m\angle\gamma=180^\circ

Por ser ángulos alternos internos:

m\angle\gamma=m\angle CAB

y

m\angle\alpha=m\angle BCA

Al reemplazar estas igualdades, se obtiene:

m\angle CAB+m\angle ABC+m\angle BCA=180^\circ

Por lo tanto, la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180^\circ.

Teorema de los ángulos exteriores

Al prolongar los tres lados de un triángulo se forman los ángulos exteriores \alpha, \beta y \gamma. Cada ángulo exterior y su ángulo interior adyacente son suplementarios:

m\angle\alpha+m\angle BAC=180^\circ m\angle\beta+m\angle ABC=180^\circ m\angle\gamma+m\angle BCA=180^\circ

Sumando las tres igualdades:

m\angle\alpha+m\angle\beta+m\angle\gamma+ m\angle BAC+m\angle ABC+m\angle BCA=540^\circ

Como los ángulos interiores del triángulo suman 180^\circ:

m\angle BAC+m\angle ABC+m\angle BCA=180^\circ

Entonces:

m\angle\alpha+m\angle\beta+m\angle\gamma+180^\circ=540^\circ

Restando 180^\circ a ambos lados:

m\angle\alpha+m\angle\beta+m\angle\gamma=360^\circ

Así, la suma de los ángulos exteriores de cualquier triángulo es 360^\circ.

Recordatorio

• Un ángulo llano mide 180^\circ.
• Los ángulos complementarios suman 90^\circ.
• Los ángulos suplementarios suman 180^\circ.
• Los ángulos alternos internos están entre las paralelas y en lados opuestos de la transversal.
• Los ángulos alternos externos están fuera de las paralelas y en lados opuestos de la transversal.
• Para construir un triángulo, cada lado debe ser menor que la suma de los otros dos lados.