Ángulos y clasificación de triángulos

Propiedades utilizadas

• La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180^\circ.
• Los ángulos adyacentes que forman una línea recta suman 180^\circ.
• Un triángulo isósceles tiene dos lados y dos ángulos iguales.
• Un triángulo equilátero tiene tres lados y tres ángulos iguales.
• Un triángulo no tiene diagonales, porque una diagonal une vértices no consecutivos.

a) Falso: un triángulo no tiene diagonales.

b) Verdadero: puede existir un triángulo obtusángulo isósceles.

c) Verdadero: un triángulo isósceles puede tener sus tres ángulos agudos.

d) Verdadero: los tres ángulos internos de un triángulo equilátero son iguales y miden 60^\circ.

e) Verdadero: un triángulo rectángulo puede tener sus tres lados de diferente medida.

f) Falso: un rectángulo no siempre tiene sus cuatro lados iguales; por eso no siempre es regular.

g) Falso: un cuadrado tiene dos diagonales.

Se pueden dibujar, por ejemplo:

• a) Un triángulo con ángulos de 50^\circ, 60^\circ y 70^\circ.
• b) Un triángulo con ángulos de 90^\circ, 40^\circ y 50^\circ.
• c) Un triángulo isósceles, por ejemplo, con lados de 5\text{ cm}, 5\text{ cm} y 6\text{ cm}.
• d) Un triángulo escaleno, por ejemplo, con lados de 4\text{ cm}, 5\text{ cm} y 6\text{ cm}.
• e) Un triángulo acutángulo, por ejemplo, con ángulos de 60^\circ, 60^\circ y 60^\circ.

a) x+75^\circ+25^\circ=180^\circ, por tanto, x=80^\circ.

b) 42^\circ+x+68^\circ=180^\circ, por tanto, x=70^\circ.

c) El ángulo interior en C y el ángulo exterior x son suplementarios: x+65^\circ=180^\circ. Entonces, x=115^\circ.

d) El ángulo interior en C mide 180^\circ-120^\circ=60^\circ. Luego, x+60^\circ+60^\circ=180^\circ, de donde x=60^\circ.

a) En C, x+32^\circ=180^\circ, así que x=148^\circ. Luego, y+77^\circ+32^\circ=180^\circ, por lo que y=71^\circ.

b) Como x y 150^\circ forman un ángulo llano, x=180^\circ-150^\circ=30^\circ. Con los datos visibles no se proporciona otro ángulo ni una igualdad de lados que permita determinar y. Por tanto, y no se puede hallar de manera única.

c) Como AB=BC=4, el triángulo es isósceles y sus ángulos de la base son iguales: x=y. Entonces, x+y+70^\circ=180^\circ, así que 2x=110^\circ y x=y=55^\circ.

d) El ángulo en A es recto, por lo que mide 90^\circ. En C, y+150^\circ=180^\circ, entonces y=30^\circ. Finalmente, x+90^\circ+30^\circ=180^\circ, de donde x=60^\circ.

a) Si dos triángulos tienen ángulos de 30^\circ y 80^\circ, el tercer ángulo mide 70^\circ. Los triángulos tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño: son semejantes.

b) Si el ángulo de 90^\circ es el ángulo comprendido entre los lados de 9\text{ cm} y 6\text{ cm}, la construcción queda determinada por dos lados y el ángulo comprendido. Los triángulos resultan congruentes, es decir, tienen la misma forma y el mismo tamaño.

c) Los lados 6\text{ cm}, 8\text{ cm} y 10\text{ cm} determinan un único triángulo. Por el criterio lado-lado-lado, las construcciones son congruentes.

Las piezas triangulares se utilizan en los puentes porque el triángulo es una figura rígida. Al aplicar una fuerza, sus lados distribuyen y transmiten las cargas hacia los apoyos sin cambiar fácilmente de forma. Por eso las estructuras triangulares ayudan a dar estabilidad, resistencia y seguridad a los puentes.