Si dos lados de un triángulo miden 9 cm y 12 cm, ¿cuánto podría medir el tercer lado?

3 cm<l<21 cm; por ejemplo, l=10 cm.

Libro de Matemática 8 EGB

Ministerio de Educación del Ecuador

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Taller: ángulos y lados de un triángulo

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Respuesta rápida

Lados: $\overline{OM}$ , $\overline{MN}$ , $\overline{ON}$ . Ángulos: $\angle MON$ , $\angle OMN$ , $\angle ONM$ .
a) $95^\circ$ ; b) $x=40^\circ$ , $y=70^\circ$ ; c) $x=72^\circ$ ; d) $x=150^\circ$ ; e) $45^\circ$ ; f) $105^\circ$ ; g) $60^\circ$ ; h) $50^\circ$ ; i) $100^\circ$ ; j) $25^\circ$ .
a) $45^\circ$ y $45^\circ$ ; b) No; c) No; d) cualquier medida entre $3$ cm y $21$ cm, sin incluir los extremos; e) cuando los lados iguales son los catetos.

📚 exercise Matemática ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 8 min lectura

Solución — Página 146

Matematica 8° · Egb 8 Matematica 2025 · 2025

Ejercicio 1

Notación geométrica

En el triángulo $OMN$ :

Lados: $\overline{OM}$ , $\overline{MN}$ y $\overline{ON}$ .
Ángulos: $\angle MON$ , $\angle OMN$ y $\angle ONM$ .

Ejercicio 2

Ángulos faltantes

La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es $180^\circ$ . Además, los ángulos exteriores de un triángulo suman $360^\circ$ .

a) $x=180^\circ-25^\circ-60^\circ=95^\circ$ .
b) El ángulo interior en $C$ es $180^\circ-110^\circ=70^\circ$ . Como el triángulo es isósceles, $y=70^\circ$ y $x=180^\circ-70^\circ-70^\circ=40^\circ$ .
c) El ángulo en $B$ está dividido en dos ángulos congruentes de $18^\circ$ . Como $BD$ es perpendicular a $AC$ , el ángulo $x$ completa un ángulo recto: $x=90^\circ-18^\circ=72^\circ$ .
d) Los ángulos exteriores suman $360^\circ$ : $x=360^\circ-85^\circ-125^\circ=150^\circ$ .
e) $x=180^\circ-45^\circ-90^\circ=45^\circ$ .
f) $x=180^\circ-40^\circ-35^\circ=105^\circ$ .
g) $x=180^\circ-40^\circ-80^\circ=60^\circ$ .
h) $x=180^\circ-60^\circ-70^\circ=50^\circ$ .
i) $x=180^\circ-40^\circ-40^\circ=100^\circ$ .
j) $x=180^\circ-35^\circ-120^\circ=25^\circ$ .

Ejercicio 3

Respuestas razonadas

a) En un triángulo isósceles rectángulo, un ángulo mide $90^\circ$ . Los otros dos son congruentes y deben sumar $90^\circ$ , por lo que cada uno mide $45^\circ$ .

b) No. Dos ángulos rectos sumarían $180^\circ$ y no quedaría medida para el tercer ángulo.

c) No. Un ángulo recto y uno obtuso ya suman más de $180^\circ$ .

d) Si el tercer lado mide $l$ , debe cumplir la desigualdad triangular: $12-9<l<12+9$ . Por tanto, $3<l<21$ cm. Por ejemplo, podría medir $10$ cm.

e) Un triángulo isósceles es también rectángulo cuando los dos lados congruentes son los catetos y forman el ángulo de $90^\circ$ . Sus ángulos congruentes miden $45^\circ$ cada uno.

Contenido de la página

Propiedades empleadas

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es $180^\circ$ .
La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es $360^\circ$ .
En un triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados congruentes tienen igual medida.
En un triángulo rectángulo, los dos ángulos agudos suman $90^\circ$ .
Para que exista un triángulo con lados $a$ , $b$ y $c$ , se debe cumplir $|a-b|<c<a+b$ .

Ejemplos resueltos

Un triángulo tiene ángulos de $40^\circ$ y $80^\circ$ . ¿Cuánto mide el tercer ángulo?

$x=180^\circ-40^\circ-80^\circ=60^\circ$ .

Dos lados de un triángulo miden $9$ cm y $12$ cm. ¿Qué valores puede tener el tercer lado?

Si el tercer lado es $l$ , entonces $12-9<l<12+9$ , por lo que $3<l<21$ cm.

Fórmulas y ecuaciones

$\text{Ángulo faltante}=180^\circ-\text{suma de los ángulos conocidos}$

$\text{Ángulo exterior faltante}=360^\circ-\text{suma de los ángulos exteriores conocidos}$

$A+B+C=180^\circ$

$E_1+E_2+E_3=360^\circ$

$|a-b|<c<a+b$

Glosario (6)

Ángulo interior: Ángulo que se encuentra dentro de un polígono; en un triángulo, los tres ángulos interiores suman $180^\circ$.
Ángulo exterior: Ángulo formado por un lado de un triángulo y la prolongación de otro lado.
Congruente: Figura o medida que tiene la misma forma o el mismo valor que otra.
Triángulo isósceles: Triángulo que tiene dos lados de igual longitud.
Triángulo rectángulo: Triángulo que posee un ángulo recto de $90^\circ$.
Desigualdad triangular: Propiedad que indica que la suma de dos lados de un triángulo debe ser mayor que el tercer lado.

Preguntas para practicar

¿Por qué la suma de los ángulos interiores de un triángulo es $180^\circ$?

¿Qué diferencia existe entre un ángulo interior y uno exterior?

¿Por qué el tercer lado debe cumplir la desigualdad triangular?

Temas y conceptos clave

Notación geométricaÁngulos interiores y exterioresTriángulos isóscelesTriángulos rectángulosDesigualdad triangularLos ángulos interiores de un triángulo suman $180^\circ$Los ángulos exteriores de un triángulo suman $360^\circ$Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son congruentesUn triángulo isósceles rectángulo tiene ángulos de $45^\circ$, $45^\circ$ y $90^\circ$La suma de las longitudes de dos lados debe ser mayor que la del tercer lado

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