Clasificación de polígonos y triángulos

Resolución

Sea x la medida de cada lado igual del triángulo isósceles. El perímetro es: 2x+28=75 2x=47 x=\frac{47}{2}=23{,}5 Por lo tanto, cada lado igual mide 23{,}5\ \text{dm}.

Al observar las figuras, se cuentan 5 polígonos convexos y 4 polígonos cóncavos.

• a) Se debe dibujar un hexágono convexo regular: seis lados iguales y seis ángulos iguales.
• b) Se debe dibujar un cuadrilátero cóncavo: cuatro lados y al menos un ángulo interior mayor que 180^\circ.
• c) Se debe dibujar un heptágono convexo irregular: siete lados, sin entrantes, y con lados o ángulos de distinta medida.

• a) No se forma un triángulo porque 6+5<15; no se cumple la desigualdad triangular.
• b) Como b=c, los ángulos B y C son iguales. Entonces A=B=C=60^\circ: es equilátero y acutángulo.
• c) B=180^\circ-70^\circ-20^\circ=90^\circ. Sus ángulos son diferentes: es rectángulo y escaleno.
• d) Como b=c, B=C. Entonces B=C=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ: es obtusángulo e isósceles.
• e) A=90^\circ y b=c, por lo que B=C=45^\circ: es rectángulo e isósceles.
• f) A=C=70^\circ, por lo que a=c. Además, B=180^\circ-70^\circ-70^\circ=40^\circ: es acutángulo e isósceles.

La fórmula para calcular las diagonales de un polígono de n lados es: D=\frac{n(n-3)}{2}

• a) El polígono tiene 5 lados: D=\frac{5(5-3)}{2}=\frac{5\cdot2}{2}=5 Se deben trazar 5 diagonales.
• b) El polígono tiene 8 lados: D=\frac{8(8-3)}{2}=\frac{8\cdot5}{2}=20 Se deben trazar 20 diagonales.

Se despeja el número de lados probando valores en D=\frac{n(n-3)}{2}:

• 35 diagonales corresponden a un decágono, porque \frac{10(10-3)}{2}=35.
• 14 diagonales corresponden a un heptágono, porque \frac{7(7-3)}{2}=14.
• 54 diagonales corresponden a un dodecágono, porque \frac{12(12-3)}{2}=54.
• 2 diagonales corresponden a un cuadrilátero, porque \frac{4(4-3)}{2}=2.

Se plantea: \frac{n(n-3)}{2}=44 n(n-3)=88 n^2-3n-88=0 Factorizando: (n-11)(n+8)=0 Como el número de lados debe ser positivo, n=11. El polígono es un endecágono o undecágono.