Líneas y puntos notables del triángulo

Orientaciones y resoluciones

El baricentro es la intersección de las tres medianas y siempre se encuentra en el interior del triángulo. Como el punto K está en el exterior, no puede ser el baricentro.

El ortocentro es la intersección de las tres alturas. Si el punto H coincide con un vértice, esto ocurre cuando el triángulo es rectángulo: el vértice del ángulo recto es el ortocentro. Por tanto, sí puede ser el ortocentro, siempre que H sea el vértice del ángulo recto.

Para cada triángulo:

1. Traza la bisectriz de dos ángulos usando compás y regla.
2. El punto donde se cortan las bisectrices es el incentro.
3. Desde el incentro, traza una perpendicular a uno de los lados para obtener el radio.
4. Con centro en el incentro y ese radio, dibuja la circunferencia inscrita. Esta circunferencia debe tocar los tres lados.

El punto señalado está en el interior del triángulo y corresponde al incentro, es decir, al punto de intersección de las bisectrices de sus ángulos. Se verifica porque se encuentra a igual distancia de los tres lados y permite dibujar una circunferencia tangente a ellos.

Para cada triángulo:

1. Construye la mediatriz de dos lados. La mediatriz es la recta perpendicular al lado que pasa por su punto medio.
2. El punto donde se cortan las mediatrices es el circuncentro.
3. Mide la distancia desde el circuncentro hasta cualquiera de los vértices.
4. Con centro en el circuncentro y ese radio, traza la circunferencia circunscrita, que debe pasar por los tres vértices.

En el triángulo de la figura 7a, que es rectángulo, el circuncentro se ubica en el punto medio de la hipotenusa. En el triángulo de la figura 7b, el circuncentro queda en el interior porque el triángulo es acutángulo.

Construye un triángulo equilátero y traza desde cada vértice la mediana, la bisectriz y la altura. Traza también las mediatrices de sus lados. Todas estas rectas coinciden por parejas en las mismas tres rectas de simetría y concurren en un único punto. Por ello, en un triángulo equilátero coinciden el baricentro, incentro, circuncentro y ortocentro.

Sea G el baricentro y AM una mediana del triángulo, donde M es el punto medio del lado opuesto a A. El baricentro divide cada mediana en la razón 2:1, medida desde el vértice:

AG:GM=2:1

Por tanto, si AM tiene longitud m, entonces:

AG=\frac{2}{3}m \qquad \text{y} \qquad GM=\frac{1}{3}m

Así, AG=2GM. La misma propiedad se cumple para las otras dos medianas.

a) Construye un triángulo equilátero cuyos tres lados midan 8\text{ cm}. Traza las tres alturas desde los vértices hasta los lados opuestos.

b) Dibuja un segmento de 4{,}5\text{ cm}. Con centro en cada extremo y radio de 6\text{ cm}, traza dos arcos. Une uno de los puntos de intersección de los arcos con los extremos del segmento.

c) Interpreta los datos como dos lados de 18\text{ cm} y 9\text{ cm} con un ángulo comprendido de 70^\circ. Construye el ángulo, mide 18\text{ cm} sobre uno de sus lados y 9\text{ cm} sobre el otro; une los extremos.

d) Construye un ángulo recto. Mide 11\text{ cm} sobre uno de sus lados y 8\text{ cm} sobre el otro. Une los extremos de los segmentos para formar un triángulo rectángulo escaleno.

Los cuatro puntos notables —baricentro, incentro, circuncentro y ortocentro— coinciden en un triángulo equilátero.