Relaciones de proporcionalidad y teorema de Tales

Para construir una figura semejante se conservan las formas y los ángulos, pero se multiplican todas las longitudes por un mismo factor de escala. Por ejemplo, se puede usar el factor k=2: cada lado debe medir el doble de la figura original y el diámetro del círculo también debe duplicarse.

Las figuras que se deben reproducir son un cuadrado o rectángulo, un triángulo rectángulo, un trapecio, un paralelogramo, un círculo y un rectángulo. La construcción debe mantener sus proporciones.

Se comparan las longitudes observadas en los dibujos. Las razones se expresan mediante fracciones.

Los segmentos correspondientes de las dos transversales son proporcionales. Por tanto: k=\frac{1,5}{2,4}=\frac{2,5}{4}=\frac{5}{8}=0,625.

La razón de proporcionalidad de los segmentos de la primera transversal respecto de los de la segunda es \frac{5}{8}. La razón inversa es \frac{8}{5}.

En el primer gráfico, las rectas horizontales son paralelas. Las relaciones entre los segmentos correspondientes son: \frac{AB}{BC}=\frac{XY}{YZ}, \frac{AB}{AC}=\frac{XY}{XZ}, \frac{BC}{AC}=\frac{YZ}{XZ}.

En el segundo gráfico, las rectas verticales son paralelas. Las relaciones correspondientes son: \frac{OP}{PQ}=\frac{MN}{NO}, \frac{OP}{OQ}=\frac{MN}{MO}, \frac{PQ}{OQ}=\frac{NO}{MO}.

También son válidas las razones inversas de cada igualdad.

Una aplicación frecuente consiste en calcular la altura de un árbol sin medirlo directamente. Se compara la sombra del árbol con la sombra de una vara de altura conocida, suponiendo que los rayos del Sol forman ángulos iguales.

Si una vara de 1,5\,\text{m} proyecta una sombra de 2\,\text{m} y el árbol proyecta una sombra de 8\,\text{m}, entonces: \frac{h}{8}=\frac{1,5}{2}. Por lo tanto: h=8\left(\frac{1,5}{2}\right)=6\,\text{m}.

El árbol mide aproximadamente 6\,\text{m}.