Segmentos congruentes, segmentos semejantes y teorema de Tales

Segmentos congruentes

Para nombrar un segmento se utilizan las letras de sus extremos y una barra superior. En la recta aparecen, entre otros, los segmentos \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD}, \overline{DE}, \overline{EF} y \overline{FG}.

Dos segmentos son congruentes cuando tienen la misma longitud. Por eso, en la figura se establece que:

\overline{AB} \cong \overline{CD} \cong \overline{FG}

Esto significa que los tres segmentos tienen igual medida.

Segmentos semejantes

Los segmentos semejantes presentan una relación de proporcionalidad entre sus longitudes.

• Si \overline{XY} es la mitad de \overline{AB}, entonces:

\overline{XY}=\frac{1}{2}\overline{AB}

De manera equivalente:

\overline{AB}=2\overline{XY}

La relación de \overline{XY} respecto de \overline{AB} es 1 a 2.

• Si \overline{MN} es la tercera parte de \overline{AB}, entonces:

\overline{MN}=\frac{1}{3}\overline{AB}

De manera equivalente:

\overline{AB}=3\overline{MN}

La relación de \overline{MN} respecto de \overline{AB} es 1 a 3.

Teorema de Tales

Si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos rectas secantes, los segmentos correspondientes que se forman en una secante son proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra secante.

En la figura, x, y y z son paralelas, mientras que m y n son secantes. Por ello, se cumplen las proporciones:

\frac{\overline{FA}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{ED}}{\overline{DC}}

\frac{\overline{FA}}{\overline{FB}}=\frac{\overline{ED}}{\overline{EC}}

\frac{\overline{AB}}{\overline{FB}}=\frac{\overline{DC}}{\overline{EC}}

Por ejemplo, al dividir la longitud de \overline{FA} entre la longitud de \overline{AB} se obtiene el mismo cociente que al dividir la longitud de \overline{ED} entre la longitud de \overline{DC}.

Importancia del orden de comparación

El resultado depende del orden en que se comparan los segmentos. Si \overline{AB}=12\,\text{cm} y \overline{CD}=8\,\text{cm}, entonces:

\frac{\overline{AB}}{\overline{CD}}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}=1,5

Pero al invertir el orden:

\frac{\overline{CD}}{\overline{AB}}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}=0,666\ldots

Por tanto, las dos razones no son iguales. La primera comparación corresponde a una relación de 3 a 2, mientras que la segunda corresponde a una relación de 2 a 3.