Problemas propuestos sobre semejanza

Resolución de los problemas

El lado menor del triángulo original mide 8\text{ cm} y el lado menor del nuevo triángulo mide 40\text{ cm}.

a) Comprender: se debe encontrar la razón entre los lados correspondientes y utilizarla para calcular los lados restantes.

b) Plantear: k=\frac{40}{8}

c) Aplicar: k=5

Multiplicamos los otros lados por 5: 12\times 5=60\text{ cm} 14,4\times 5=72\text{ cm}

d) Responder: la razón de semejanza es 5. Los lados del nuevo triángulo miden 40\text{ cm}, 60\text{ cm} y 72\text{ cm}.

a) Comprender: se comparan las medidas de los lados correspondientes de las dos figuras.

b) Plantear: k=\frac{2,25}{1,25}=\frac{3,78}{2,1}

c) Aplicar: k=1,8

Esto significa que la figura grande mide 1,8 veces la figura pequeña. La razón de la figura pequeña respecto de la grande es: \frac{1}{1,8}=\frac{5}{9}\approx 0,56

d) Responder: la razón de semejanza de la figura grande respecto de la pequeña es 1,8. Las medidas correspondientes mantienen esa misma proporción.

a) Comprender: la baldosa pequeña es 20\% menor que la baldosa de 30\text{ cm}.

b) Plantear: si es 20\% menor, conserva el 80\% de la medida original: 30\times 0,8

c) Aplicar: 30\times 0,8=24\text{ cm}

La comparación entre la baldosa pequeña y la grande es: \frac{24}{30}=0,8

d) Responder: la baldosa pequeña mide 24\text{ cm} de lado y equivale a 0,8 veces el lado de la grande; es 20\% más pequeña. La baldosa grande es 1,25 veces el lado de la pequeña.

a) Comprender: los ángulos de 38^\circ son correspondientes, por lo que los triángulos son semejantes. Los lados correspondientes son 5 y 15, y 7 y 21.

b) Plantear: k=\frac{15}{5}=\frac{21}{7}=3

El lado de longitud 8 corresponde al lado x.

c) Aplicar: x=8\times 3=24\text{ cm}

d) Responder: el lado faltante mide 24\text{ cm}.

a) Comprender: todas las medidas de la nueva mesa se obtienen multiplicando las medidas originales por la razón 0,8.

b) Plantear: \text{medida nueva}=\text{medida original}\times 0,8

c) Aplicar: 4,2\times 0,8=3,36\text{ cm} 3,125\times 0,8=2,5\text{ cm} 13\times 0,8=10,4\text{ cm} 3,75\times 0,8=3\text{ cm} 10\times 0,8=8\text{ cm}

d) Responder: las nuevas medidas son 3,36\text{ cm}, 2,5\text{ cm}, 10,4\text{ cm}, 3\text{ cm} y 8\text{ cm}.

a) Comprender: se compara el lado del cuadrado amarillo, de 2\text{ cm}, con el lado del cuadrado azul, de 3\text{ cm}. Luego se comparan sus áreas.

b) Plantear: \text{razón de lados}=\frac{2}{3} \text{razón de áreas}=\frac{2^2}{3^2}

c) Aplicar: \frac{2}{3}\approx 0,67 A_{\text{amarillo}}=2^2=4\text{ cm}^2 A_{\text{azul}}=3^2=9\text{ cm}^2 \frac{4}{9}\approx 0,44

d) Responder: el lado amarillo no es más grande; mide \frac{2}{3} del lado azul. Su área mide \frac{4}{9} del área azul. El cuadrado azul tiene \frac{9}{4}=2,25 veces el área del amarillo.