Congruencia de triángulos

Resolución

a) Falso. Si dos triángulos tienen sus ángulos correspondientes iguales, son semejantes, pero no necesariamente congruentes; pueden tener diferentes tamaños.

b) Verdadero. En dos triángulos rectángulos, un lado correspondiente y un ángulo agudo correspondiente determinan la congruencia, pues también se conoce el ángulo recto.

c) Verdadero. Las diagonales de un rombo se bisecan perpendicularmente. Los cuatro triángulos formados tienen como catetos las mismas mitades de las diagonales, por lo que son congruentes por el criterio cateto-cateto.

d) Falso. La igualdad de solo dos lados no garantiza la congruencia; también se necesita información sobre el ángulo comprendido o sobre el tercer lado.

e) Verdadero. En triángulos congruentes, los lados correspondientes tienen igual medida y, por tanto, son proporcionales con razón 1.

f) Verdadero. La congruencia significa que todos los lados y ángulos correspondientes tienen la misma medida.

g) Falso. La igualdad se refiere a medidas o cantidades; la congruencia compara figuras que tienen la misma forma y tamaño, aunque estén en distinta posición.

a) Dibuja un triángulo isósceles, por ejemplo, con lados iguales de 5\ \text{cm} y base de 4\ \text{cm}. Construye otro con las mismas medidas y colócalo girado o reflejado. Ambos serán congruentes.

b) Dibuja un triángulo rectángulo con catetos de 3\ \text{cm} y 4\ \text{cm}. Construye otro con los mismos catetos, pero en una posición diferente. Los dos triángulos son congruentes por cateto-cateto.

Copia las figuras y compara sus lados y ángulos correspondientes. Deben pintarse con el mismo color las figuras que conservan exactamente la misma forma y tamaño, aunque estén giradas o reflejadas. En la ilustración, se agrupan las figuras que presentan las mismas longitudes de lados y los mismos ángulos.

a) Los triángulos I, II y III son congruentes. Todos son rectángulos con catetos de 3 y 4 unidades. Cumplen el postulado cateto-cateto.

b) Los triángulos II y III son congruentes. En ambos, los ángulos correspondientes miden 70^\circ y 30^\circ, y el lado comprendido entre ellos mide 10 unidades. Cumplen el postulado ángulo-lado-ángulo (ALA).

c) Los triángulos I, II y III son congruentes. En los tres casos, las longitudes de los lados son 4, 7 y 8 unidades. Cumplen el postulado lado-lado-lado (LLL).

Sea ABCD un rectángulo y tracemos la diagonal AC. Se forman los triángulos \triangle ABC y \triangle CDA.

En un rectángulo, los lados opuestos son iguales, por lo que AB=CD y BC=AD. Además, AC=AC porque es un lado común. Por consiguiente, los tres lados correspondientes son iguales y, por el postulado LLL, \triangle ABC\cong\triangle CDA.