Postulados de congruencia de triángulos

Resolución

Al trazar las dos diagonales de un cuadrado, se forman cuatro triángulos. Cada uno tiene dos lados iguales, porque corresponden a lados del cuadrado, y además comparten partes iguales de las diagonales. Por tanto, son triángulos isósceles y congruentes.

• El triángulo con lados 5, 5 y 6 es congruente con el triángulo que tiene altura 4, semibase 3 y lados iguales 5, pues sus lados correspondientes miden 5, 5 y 6.
• Los dos triángulos rectángulos con hipotenusa 10 son congruentes. Sus ángulos agudos son 53^\circ y 37^\circ, que son complementarios.
• El triángulo equilátero y el triángulo isósceles de lados iguales 8 se consideran la tercera pareja congruente según la construcción indicada en la figura.

Se deben dibujar tres triángulos isósceles y trazar en cada uno la altura desde el vértice principal hasta la base. La altura divide cada triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos congruentes.

• Para demostrar por LAL: dos lados correspondientes son iguales y el ángulo comprendido también es igual.
• Para demostrar por ALA: dos ángulos correspondientes y el lado comprendido son iguales.
• AAA permite comprobar semejanza, pero por sí solo no demuestra congruencia; para obtener congruencia se requiere además una medida de lado correspondiente.

En el triángulo ABC, AB=BC=5\text{ cm} y \angle C=65^\circ. Como los lados AB y BC son iguales, los ángulos opuestos también son iguales: \angle A=\angle C=65^\circ.

Se traza la bisectriz BD del ángulo B. Entonces \angle ABD=\angle DBC. Además, AB=BC y el lado BD es común. Por ALA, los triángulos ABD y CBD son congruentes.

Se traza la bisectriz del ángulo X, que corta al segmento ZY en A. Los ángulos Z y Y miden @@MATH_0@@, por lo que los lados opuestos son iguales: XZ=XY. También XA es un lado común y la bisectriz garantiza que \angle ZXA=\angle AXY$.

Por LAL, \triangle XZA\cong\triangle XYA.

En el triángulo ABC, \angle A=90^\circ y \angle B=60^\circ, por lo tanto \angle C=30^\circ. En el triángulo ZXY, \angle X=90^\circ y \angle Z=30^\circ, por lo tanto \angle Y=60^\circ.

La hipótesis indica que AB=XY. Así, \angle A=\angle X, \angle B=\angle Y y el lado comprendido AB=XY. Por ALA, \triangle ABC\cong\triangle XYZ, con correspondencia A\leftrightarrow X, B\leftrightarrow Y y C\leftrightarrow Z.

Como TH es una altura, TH\perp SR y \angle SHT=90^\circ.

El ángulo exterior en T mide 100^\circ, por lo que el ángulo interior del triángulo en T es 180^\circ-100^\circ=80^\circ. El ángulo exterior en R mide 130^\circ, por lo que el ángulo interior en R es 180^\circ-130^\circ=50^\circ.

En el triángulo STR: \angle S=180^\circ-80^\circ-50^\circ=50^\circ.

En el triángulo rectángulo STH: x=180^\circ-90^\circ-50^\circ=40^\circ.

Por tanto, x=40^\circ.