Teorema de Pitágoras
Respuesta rápida
Saberes previos: triángulo rectángulo.\n\nLongitud de la escalera: 5\ \text{m}.
Solución — Página 192
Matematica 8° · Egb 8 Matematica 2025 · 2025
Saberes previos
Los ángulos de un triángulo suman 180^\circ. Si dos ángulos miden 50^\circ y 40^\circ, el tercer ángulo mide:
180^\circ-50^\circ-40^\circ=90^\circ
Por lo tanto, es un triángulo rectángulo.
Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:
a^2+b^2=c^2
- Los catetos son los lados que forman el ángulo recto.
- La hipotenusa es el lado mayor, opuesto al ángulo recto.
- El ángulo recto mide 90^\circ.
Según el lado que se desea encontrar, se utilizan estas fórmulas:
c=\sqrt{a^2+b^2}
b=\sqrt{c^2-a^2}
a=\sqrt{c^2-b^2}
Aplicación de la escalera
La altura de la ventana es un cateto de 4\ \text{m} y la distancia entre la pared y la escalera es el otro cateto de 3\ \text{m}. La escalera representa la hipotenusa.
c=\sqrt{a^2+b^2}
c=\sqrt{3^2+4^2}
c=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5
La escalera deberá medir 5\ \text{m}.
Comprobación
3^2+4^2=5^2
9+16=25
La igualdad se cumple.
Contenido de la página
Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras relaciona las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. Los catetos forman el ángulo recto y la hipotenusa es el lado opuesto y de mayor longitud.
La relación fundamental es:
a^2+b^2=c^2
De ella se obtienen las fórmulas para hallar cada lado:
c=\sqrt{a^2+b^2}
b=\sqrt{c^2-a^2}
a=\sqrt{c^2-b^2}
El ejemplo de la escalera utiliza catetos de 3\ \text{m} y 4\ \text{m}, por lo que la hipotenusa mide 5\ \text{m}.
Ejemplos resueltos
Una ventana está a 4\ \text{m} de altura y la escalera se coloca a 3\ \text{m} de la pared. ¿Cuánto mide la escalera?
La escalera es la hipotenusa. Aplicamos el teorema de Pitágoras:
c=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5
La escalera mide 5\ \text{m}.
Fórmulas y ecuaciones
a^2+b^2=c^2
c=\sqrt{a^2+b^2}
b=\sqrt{c^2-a^2}
a=\sqrt{c^2-b^2}
a^2+b^2=c^2
c=\sqrt{a^2+b^2}
b=\sqrt{c^2-a^2}
a=\sqrt{c^2-b^2}
Glosario (4)
- Cateto
- Cada uno de los dos lados que forman el ángulo recto de un triángulo rectángulo.
- Hipotenusa
- Lado mayor de un triángulo rectángulo, ubicado frente al ángulo recto.
- Ángulo recto
- Ángulo que mide $90^\circ$.
- Teorema de Pitágoras
- Relación que establece que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
Temas y conceptos clave
Fuentes y referencias
- Enlace indicado en la página: lynk.ec/8m31
Figuras de la página (4)
Preguntas que la gente también hace
¿Cómo se aplica el teorema de Pitágoras?
¿Cuál es la diferencia entre cateto e hipotenusa?
¿Cómo calcular un cateto con el teorema de Pitágoras?
- • Suma y resta de números naturales
- • Potenciación al cuadrado
- • Raíz cuadrada
- • Clasificación de triángulos según sus ángulos
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1612 caracteres
Ys Competencia digital
Tema 5
Ventana que <— deseamos limpiar
wy ÑO e,
Observa otra demos- tración del teorema de Pitágoras en el enlace web:
lynk.ec/8m31
es
ae ¿Sabías que? En la mayoria de casos, aunque los catetos sean números naturales,
1, 2,.., la hipotenusa es un número con infinitas cifras decimales.
Teorema de Pitágoras
Si un triángulo tiene un ángulo de 50” y otro de 40°, ¿qué clase de triángulo es?
Un edificio tiene una ventana a 4 m de altura que requiere ser limpiada. Para ello, se debe colocar una escalera asentada a 3 m de la pared. ¿Cuántos metros deberá medir la escalera?
Para resolver esta situación, primero analizamos el gráfico. Como este esquema forma un triángulo rectángulo, podemos demostrar lo siguiente:
Entonces, el cuadrado de a (a?) más el cua- drado de b (b?) es igual al cuadrado c (c’).
Al comprobar, tenemos que a? + b?=c? 3 442=5? 9+16=25
El teorema de Pitágoras es una relación entre los lados de un triángulo rectángulo. En un triángulo rectángulo se pueden identificar diferentes elementos:
Catetos: lados que forman el ángulo recto.
Hipotenusa: lado mayor del triángulo opuesto al ángulo recto.
Angulo recto: ángulo de 90° que forman los dos catetos.
Partimos de la fórmula: a? + b? = c?
Siendo a = cateto 1 b=cateto 2 c= hipotenusa
Como queremos encontrar la hipotenusa,
aplicamos la formula: b=4m c=? cava +b col? 44 =V9416 =V25=5
E B
La escalera deberá medir 5 m.
M.4.2.14. Demostrar el teorema de Pitágoras utilizando áreas de regiones rectangulares. M.4.2.15. Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de triángulos rectángulos.
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