Aplicaciones del teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo, si c es la hipotenusa y a, b son los catetos, se cumple:

c^2=a^2+b^2

De esta relación se obtienen las fórmulas:

• Hipotenusa: c=\sqrt{a^2+b^2}.
• Cateto: a=\sqrt{c^2-b^2}.

Ejemplo 1: cálculo de un cateto

La hipotenusa mide 10\ \text{m} y un cateto mide 6\ \text{m}. Para calcular el otro cateto:

a=\sqrt{c^2-b^2}

a=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\ \text{m}

Por tanto, el cateto desconocido mide 8\ \text{m}.

Ejemplo 2: cálculo de la hipotenusa

Los catetos miden 36\ \text{cm} y 48\ \text{cm}. Aplicamos:

c=\sqrt{a^2+b^2}

c=\sqrt{36^2+48^2}=\sqrt{1296+2304}=\sqrt{3600}

Descomponemos 3600 en factores primos:

3600=2^4\cdot3^2\cdot5^2

Entonces:

\sqrt{3600}=\sqrt{2^4\cdot3^2\cdot5^2}=2^2\cdot3\cdot5=4\cdot3\cdot5=60

La hipotenusa mide 60\ \text{cm}.

Ternas pitagóricas

Las ternas pitagóricas son grupos de tres números naturales que cumplen el teorema de Pitágoras. Por ejemplo:

3^2+4^2=5^2

También son ternas pitagóricas sus múltiplos, como (6,8,10) y (9,12,15).

Ejemplo 3: altura de un triángulo equilátero

Al trazar la altura de un triángulo equilátero de lado 5\ \text{m}, se forman dos triángulos rectángulos. La mitad de la base mide 2,5\ \text{m} y la hipotenusa mide 5\ \text{m}.

h=\sqrt{5^2-2,5^2}

h=\sqrt{25-6,25}=\sqrt{18,75}\approx4,33\ \text{m}

La altura del triángulo equilátero es aproximadamente 4,33\ \text{m}. La unidad correcta es metros, porque las medidas dadas están expresadas en metros.